Matematické Fórum

lecopivo

Zdravim, v ramci jedne fyzikalni ulohy jsem sestavil jistou rovnici, kterou neumim vyresit. Kamrad mi radil at pouziji variacni pocet. Ten bohuzel neumim a nikde jsem ani nenasel zadnou knihu, kde by to bylo nejak rozumne vysvetleno.

tedy k te rovnici, jde mi o to najit funkci $g(x)$ , vsechno ostani jsou but konstanty nebo fce zname(hladke, a $f(x)$ je definovana jen na intervalu <-a,a>).

$k-V(x_0, f(x_0)) = \int_{-a}^a \frac{ g(x) \sqrt{1+ {f^{'}}^2(x)} } { 4 \pi \epsilon \sqrt{(x_0-x)^2+[f(x_0)-f(x)]^2} } dx$

Byl bych velice potese kdyby $g(x)$ bylo mozne nejak vyjadrit. Pokud to mozne neni tak by mi stacila i nejake numericka metoda jak ji zjistit. Ale takto si s tim opravdu nevim rady. Tak kdyby mi nekdo poradil, stacila by i jen literatura kam se podivat.

Dekuji mnohokrat za jakoukoli radu.

Pavel Brožek · 03. 01. 2010 21:13

Najdi funkci $g(x)$ takovou, že

$\int_0^1g(x)\,\rm{d}x=5$ .

Není tohle podobný problém? Asi existuje spousta funkcí g(x), které to budou splňovat.

Z jaké fyzikální úlohy to vzniklo?

lecopivo · 03. 01. 2010 21:15

jo mam tam chybu, $V(x_0)$ bych mel napsat jako fci dvou promenych $V(x_0, f(x_0))$

Pavel Brožek · 03. 01. 2010 21:17

↑ lecopivo:

To je jedno, pořád je to "integrál z g(x) krát nějaká předem daná funkce x přes nějaký interval se rovná nějakému číslu".

lecopivo

A kdybych pridal podminku $\int_{-a}^a g(x) \sqrt{1+ {f^{'}}^2(x)} dx = konst.$ ??

jinak pocitam rozlozeni naboje na nejake vodive tenke plosce( resp. krivky, jelikoz to zatim resim jen ve 2D). kde f(x) je tvar te vodive krivky a fce V je elektricky potencial nejakeho elek. nabiteho telesa.

Pavel Brožek · 03. 01. 2010 21:51

Aha, takže $x_0$ není jedno, ale probíhá nějakou množinu (asi teda množinu mimo $(-a,a)$ ). A požaduješ, aby to bylo splněno pro všechny $x_0$ . Rozumím tomu dobře?

lecopivo · 03. 01. 2010 22:03

ne ne $x_0$ nalezi $<-a,a>$ . Bod $[x_0, f(x_0)]$ je bod lezici na te vodive krivce. Zpusob jakym to pocitam. kdyz sectu elek. potencial nabiteho telesa( ten mi udava fce V) plus elek. potencial vytvoreny tou krivkou(ten integral), v bodech te krivky, tak musim dostat nejake cislo ktere je stejne pro vsechny body na te krivce( cislo k).

lecopivo · 03. 01. 2010 22:08

Bez pritomnosti vnejsiho elektrickeho pole by ta, krivka byla elek. neutralni. Pri pritomnosti elek. pole se na te krivce musi preskupit volny elek. naboj tak aby se cela krivka nachazela na stejne potencialni hladine.

Pavel Brožek · 03. 01. 2010 22:14

↑ lecopivo:

Tak tam ale máš problém s integrovatelností, nebo ne? Předpokládejme, že g je spojitá a nenulová v $x_0$ . Pak existuje okolí $x_0$ , kde je odražená od nuly. No a ten zbytek se v okolí $x_0$ chová jako $\frac1{|x-x_0|}$ , což není konečně integrovatelná funkce. Takže buď $g(x_0)=0$ , nebo tam je potenciál nekonečný. Co se ti víc líbí? :-)

lecopivo · 03. 01. 2010 22:20

Proc by nemela byt nenulova v $x_0$ ? vzdyt na nejekych mistech musi byt naboj kladny a nekde zaporny, tedy nekde musi byt nulovy. Jo a asi nikde jsem nerekl ze g(x) vyjadruje delkovou hustotu naboje.

lecopivo · 03. 01. 2010 22:21

a co myslis tim ten zbytek ?

Pavel Brožek · 03. 01. 2010 22:27

↑ lecopivo:

Že je g hustota náboje jsem pochopil. Ještě se nad tím zamyslím. Zbytkem jsem myslel $\frac{\sqrt{1+ {f^{'}}^2(x)} } { 4 \pi \epsilon \sqrt{(x_0-x)^2+[f(x_0)-f(x)]^2} }$ .

lecopivo · 03. 01. 2010 22:49

Uz jsem te pochopil s tim zbytkem a ze $\frac1{|x-x_0|}$ neni konecne integrovatelna. V tom pripade, jak spocitat potencial elek. nabiteho krouzku v miste toho krouzku, pomoci integrace pres kazdicky kousek toho krouzku ? Tam by vznikal dost podobny problem.

Pavel Brožek · 03. 01. 2010 23:19

No to právě nemůžeš, protože potenciál v místě kroužku bude nekonečně velký. To je tím, že to je jednorozměrný objekt. V případě plochy už to integrovatelné bude.

To ale nic nemění na tom, že nějak se ten náboj rozloží. Jen to asi nepůjde počítat přes potenciál.

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2010 20:55 — Editoval BrozekP (03. 01. 2010 21:55)

Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#2 03. 01. 2010 21:13

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#3 03. 01. 2010 21:15

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#4 03. 01. 2010 21:17

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#5 03. 01. 2010 21:25 — Editoval lecopivo (03. 01. 2010 21:26)

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#6 03. 01. 2010 21:51

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#7 03. 01. 2010 22:03

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#8 03. 01. 2010 22:08

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#9 03. 01. 2010 22:14

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#10 03. 01. 2010 22:20

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#11 03. 01. 2010 22:21

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#12 03. 01. 2010 22:27

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#13 03. 01. 2010 22:49

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

#14 03. 01. 2010 23:19

Re: Asi variacni pocet, nebo jakasi funkcionalni rovnice s integralem

Zápatí