Matematické Fórum

Needy · 04. 01. 2010 00:52

Vedel by nekdo jak spocitat tenhle priklad?? prosil bych i postup

Urcete maximalnı intervaly monotonie a lokalnı extremy funkce
f(x) = (x + 4) |x| + 2

danka · 04. 01. 2010 10:06 — Editoval danka (04. 01. 2010 10:09)

odstraníš abs.hodnotu pro x kladné a pro x záporné a máš dvě části této funkce.
$x\in(0,\infty) : y = (x+4)x + 2 = x^2 + 4x + 2 = (x+2)^2 -2$
vrchol je teda v $[-2,-2]$ a je lokální minimum a parabola je otevřená nahoru (x je kladné) a protíná osu y v bodě 2, takže na zadaném intervalu je rostoucí
$x\in(-\infty,0) : y = (x+4)(-x) + 2 = -x^2 - 4x + 2 = -(x+2)^2 +6$
vrchol je teda v $[-2,6]$ a je to lokální maximum a parabola je otevřená dolů (x je záporné) a protíná osu y v bodě 2, takže na intervalu (-\infty,-2) je rostoucí, a na (-2,0) je klesající

Tohle je z grafu funkce.

Pokud chceš přes derivace, tak obdobně. Derivuješ ty funkce na každém intervalu zvlášť:
$x\in(-\infty,0) : y = (x+4)(-x) + 2 = -x^2 - 4x + 2 \nl y'= -2x -4 = 0$
x = -2 , tento bod je maximum, takže na $(-2,0)$ je klesající, a $(\infty,-2)$ je rostoucí
$x\in(0,\infty) : y = (x+4)x + 2 = x^2 + 4x + 2 \nl y'= 2x +4 = 0\nl x = -2$
tento bod je minimum
takže na $(0,\infty)$ je rostoucí
čili celkově je funkce rostoucí na $(-\infty, -2) a (0,\infty)$ a klesající na $( -2, 0)$ , což jsou i intervaly monotónosti