Matematické Fórum

limitky · 04. 01. 2010 15:16

Zdravím, potřeboval bych s něčím pomoct, konkrétně řešení limit posloupnosti pomocí sevřených posloupností, kdy posloupnost jakoby uzavřu mezi dvě jiné posloupnosti, které jdou obě např. k nule, třeba 1/n^2, pro všechny n je je 1/n^3 menší nebo rovno než 1/n^2 a zároveň je 1/n větší nebo rovno než 1/n^2, tzn. 1/n^3 <= 1/n^2 < = 1/n a obě krajní posloupnosti jdou k 0, tak i prostřední jde k nule, ale jak na tyhle krajní limity mám přijít, např. když řeším limitu suma od k=1 do n (n->oo) 1/((n^3+k^2)^1/3), díky za jakoukoliv pomoc.

Olin · 04. 01. 2010 15:33

Stačí odhadnout ten obecný člen sumy:
$\frac{1}{\sqrt[3]{n^3 + n^2}} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{n^3 + k^2}} \leq \frac{1}{\sqrt[3]{n^3}}$ .
Zkus, co z toho vyleze.

Rumburak

Výraz, který nás zajímá, odhadneme zdola a shora - třeba takto :

$\frac {1}{\sqrt[3]{n^3 + n^2}} \le \frac {1}{\sqrt[3]{n^3 + k^2}} \le \frac {1}{\sqrt[3]{n^3 + 0^2}} = \frac {1}{n}$
(zlomek dvou kladných čísel je klesající funkcí jmenovatele), na to provedeme sumu a získáváme
$\sum_{k = 1}^n \frac {1}{\sqrt[3]{n^3 + n^2}} \le \sum_{k = 1}^n \frac {1}{\sqrt[3]{n^3 + k^2}} \le \sum_{k = 1}^n \frac {1}{n}$ ,
v "křídlech" této složené nerovnosti jsou summy z členů, které jsou stacionární vůči sčítacímu indexu, tedy mají vždy hodnotu "člen krát počet členů", takže dostáváme
$\frac {n}{\sqrt[3]{n^3 + n^2}} \le \sum_{k = 1}^n \frac {1}{\sqrt[3]{n^3 + k^2}} \le \frac {n}{n} = 1$ , dalšími úpravami
$\sqrt[3]{\frac {n^3}{n^3 + n^2}} \le \sum_{k = 1}^n \frac {1}{\sqrt[3]{n^3 + k^2}} \le 1$ ,
$\sqrt[3]{\frac {1}{1 \,+ \,n^{-1}}} \le \sum_{k = 1}^n \frac {1}{\sqrt[3]{n^3 + k^2}} \le 1$
a máme to. Naučit se to dá cvikem.

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2010 15:16

limity pomocí sevřené posloupnosti

#2 04. 01. 2010 15:33

Re: limity pomocí sevřené posloupnosti

#3 04. 01. 2010 15:59 — Editoval Rumburak (04. 01. 2010 16:01)

Re: limity pomocí sevřené posloupnosti

Zápatí