Matematické Fórum

ivko · 04. 01. 2010 14:41 — Editoval ivko (04. 01. 2010 15:54)

Rovnice tohto typu tu mam najviac, a nedari sa mi vyriesit ani jednu.
napriklad:
1. sin u = cos u - 1
2. 15 sin x + 10 cos x = 12

je tu aj nejaky vzorovy priklad ale nechapem upravu. Citujem z knizky:
8sin x + 6cos x = 9
---------------------------
(vseobecne zapisane a sin x + b cos x = c kde a,b,c su R; abc sa nesmie rovnat 0 )
Riesenie pomocou funkcie tg x/2

$16sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+6cos^2\frac{x}{2}-6sin^2\frac{x}{2}=9$ ............tuto upravu este chapem
teraz mozme delit rovnicu $cos^2\frac{x}{2}$
po uprave dostaneme:
$15tg^2\frac{x}{2}-16tg\frac{x}{2}+3=0$ ................tuto upravu uz nechapem
dalej je to riesene ako kvadraticka rovnica co mi je jasne

jelena · 04. 01. 2010 15:38

trochu upravím zápis:

$16 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}+6cos^2\frac{x}{2}-6sin^2\frac{x}{2}=9$

9 nahrazuji tak: $9\cdot 1=9${cos^2\frac{x}{2}}+\sin^2\frac{x}{2}$$ , přesunu nalevo a celý výraz dělím, jak uvádíš - mohu dělit "člen po členu"

$16 \frac{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}+6\frac{cos^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}-6\frac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}-9\frac{cos^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}-9\frac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}=0$

Uź je to vidět? v konečné úpravě ještě násobí (-1)

OK?

Olin · 04. 01. 2010 15:38 — Editoval Olin (04. 01. 2010 15:39)

Na pravé straně zřejmě "mezitím" proběhla úprava $9 = 9 \sin^2 \frac x2 + 9 \cos^2 \frac x2$ .

EDIT: Kolegyně byla rychlejší, zdravím :-)

musixx · 04. 01. 2010 15:45 — Editoval musixx (04. 01. 2010 15:55)

Ten začátek máš napsán trochu zmateně, a tam je nejspíš základní problém. Je totiž:

$8\sin x+6\cos x=9$

právě tehdy, když

$8\cdot\left(2\sin\frac x2\cos\frac x2\right)+6\left(\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2\right)=9$

(tady jsme použili vzorce pro dvojnásobný úhel pro sinus a kosinus, tedy $x=2\cdot\frac x2$ ).

Dále máme tzv. goniometrickou jedničku, pomocí které se "zbavíme" konstanty 9, je totiž $9=9\cdot(\sin^2y+\cos^2y)$ pro jakékoli $y$ a nám se samozřejmě hodí $y=\frac x2$ . Dostávám se tak k

$8\cdot\left(2\sin\frac x2\cos\frac x2\right)+6\left(\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2\right)=9\left(\sin^2\frac x2+\cos^2\frac x2\right)$ ,

tedy

$16\sin\frac x2\cos\frac x2-15\sin^2\frac x2-3\cos^2\frac x2=0$ .

Dělit rovnici výrazem $\cos^2\frac x2$ mohu jen tehdy, když si jsem jist, že nedělím nulou - to je třeba doplnit a také je třeba promyslet, co se stane s původní rovnicí, když $\cos^2\frac x2=0$ .

Tím dostanu

$16\cdot\frac{\sin\frac x2}{\cos\frac x2}-15\frac{\sin^2\frac x2}{\cos^2\frac x2}-3\cdot\frac{\cos^2\frac x2}{\cos^2\frac x2}=0$ ,

tedy ono "záhadné"

$15{\rm tg}^2\frac x2-16{\rm tg}\frac x2+3=0$ .

EDIT: Zdravím rychlejší kolegy. Pro příště než se pustím do takového otrockého psaní, tak použiju to dohodnuté "pracuji na tom". :-) Ale i tak si dovolím znova upozornit na mou červenou poznámku - neberte ji, řešitelé školských goniometrických rovnic a nerovnic, na lehkou váhu (zde mám samozřejmě na mysli uživatele ivko a ne jelenu s Olinem).

jelena · 04. 01. 2010 15:56

↑ Olin:

také pozdrav :-) dodržuji totiž pravidlo, že každé OT povídání mám odčinit nějakou tematickou nápovědou - tak jsem odčinila pozdrav pro váženého lesního inženýra, teď jsem to zas vyčerpala na pozdrav :-) tak abych se zas činila (za chvilku ovšem vyrazím šířit kulturu Východu obyvatelstvu Západu (v kurzu ruštiny již 2. hodinu maji recitaci basniček - a to jsou teprve u začátečníků) - musím si však poslechnout nějaké texty, abych se dostala do obrazu.

A teď z náhledu vidím kolegu musixx - tak ještě využiji přiležitost a kolegu radostně novoročně pozdravím! (jelikož naději, že se s vami setkám v nějakém tématu mimo SŠ je téměř zanedbatelná). Ale i tak jsem radostná:-)
-----
то есть абсолютно.

ivko · 04. 01. 2010 16:01 — Editoval ivko (04. 01. 2010 16:03)

No ano toto ako tak chapem, ale co spravim s tymi prvymi dvomi ? :(

musixx · 04. 01. 2010 16:11 — Editoval musixx (04. 01. 2010 16:13)

Děkuji jeleně za pozdrav a také se přidám k novoročním pozdravům.

No a pro ivko, tak ve druhé rovnici je jen místo osmičky patnáctka, místo šestky desítka a místo devítky dvanáctka. První rovnice je na tom velice analogicky. Jasné? EDIT: Jestli musíš, napiš si ji klidně ve tvaru sin u - cos u = - 1, nebo dokonce i přeznač proměnnou 'u' za 'x'.

ivko · 04. 01. 2010 16:37 — Editoval ivko (04. 01. 2010 16:38)

Anooo konecne mi to uz vychadza :-D. Tak este raz vam dakujem ↑ jelena: ↑ Olin: ↑ musixx:

Chrpa · 04. 01. 2010 18:12 — Editoval Chrpa (04. 01. 2010 18:13)

↑ ivko:
$\sin\,u=\cos\,u-1\nl\cos\,u-\sin\,u=1\nl\cos^2u-2\,\sin\,u\cdot\cos\,u+\sin^2u=1\nl2\,\cos u\,sin u=0\nl\sin\,u=0\,\vee\,cos\,u=0$
$u_1=0+k\pi\nlu_2=\frac\pi2+2k\pi$ ( ve třetím řádku jsme použili goniometrickou jedničku $\sin^2u+\cos^2u=1$ )
Pro $u_1$ nevyjde zkouška (musíme udělat, protože jsme umocňovali a víme, že umocňování není ekvivalentní úprava
Řešením je $u=\frac\pi2+2k\pi$