Matematické Fórum

kerami · 05. 01. 2010 09:37 — Editoval kerami (05. 01. 2010 09:38)

Zdravím, můžete mně poradit, prosím?

Napište rovnici přímky $m$ která prochází bodem $A$ a jejíž odchylka od přímky $a$ je $\varphi=45\circ$ $A=[1;3]$ $a:4y-7=0$

Použil jsem směrnicový tvar, za $k=tg45\circ$ , ale nevím, jak bych to vypočítal druhou možností, kde jsou předepsané veličiny $bodA..$

Díky moc.

musixx · 05. 01. 2010 09:47 — Editoval musixx (05. 01. 2010 09:50)

Předpokládám, že vše se odehrává v rovině. Já bych vzal normálový vektor přímky $a$ , ten bych otočil o 45 stupňů (jsou dvě možnosti, stačí (sloupcový) vektor násobit zleva maticemi $\left(\begin{matrix}\cos45^\circ&-\sin45^\circ\nl\sin45^\circ&\cos45^\circ\end{matrix}\right)$ , resp. $\left(\begin{matrix}\cos(-45^\circ)&-\sin(-45^\circ)\nl\sin(-45^\circ)&\cos(-45^\circ)\end{matrix}\right)$ ), tak získám normálový vektor hledané přímky (normálové vektory dvou přímek) a doladit to tak, aby nalezené přímky procházely daným bodem.

EDIT: To je obecné řešení. Tady se to dá dost zjednodušit a přímky de facto psát přímo, když si uvědomíme, jak vypadá zadaná přímka $a$ (pokud v zadání nic nechybí).

kerami · 05. 01. 2010 10:39

Zadání je správné, ale jelikož naše učitelka po nás chce, abychom pracovali podle toho, co nám určí, tak proto se ptám na radu. Díky.
A ještě toho využiji a zeptám se na jednu věc. Když mně vyjde ve zlomku $\frac{\mid 6*12+5*10\mid}{\sqrt{6^2+5^2}*\sqrt{12^2+10^2}$
tak nevím, jak z toho vznikne výsledek $1$ . Neovládám komutativní zákony, jestli je to tím. Dík za vše.

Tychi · 05. 01. 2010 10:47 — Editoval Tychi (05. 01. 2010 10:47)

↑ kerami:
$\frac{\mid 6*12+5*10\mid}{\sqrt{6^2+5^2}*\sqrt{12^2+10^2}}=\frac{\mid 6*12+5*10\mid}{\sqrt{6^2+5^2}*\sqrt{(2\cdot 6)^2+(2\cdot 5)^2}}=\frac{\mid 6*12+5*10\mid}{\sqrt{6^2+5^2}*\sqrt{4\cdot 6^2+4\cdot 5^2}}=\frac{\mid 6*12+5*10\mid}{\sqrt{6^2+5^2}*\sqrt{4(6^2+5^2)}}=$
$=\frac{\mid 6*12+5*10\mid}{\sqrt{6^2+5^2}*2\cdot\sqrt{(6^2+5^2)}}=\frac{\mid 6*12+5*10\mid}{2\cdot(6^2+5^2)}$

musixx · 05. 01. 2010 11:05 — Editoval musixx (05. 01. 2010 11:08)

↑ Tychi: Tam tím míříš?

Pokud nechci použít kalkulačku (za to se samozřejmě přimlouvám) a chci na to jít nějak elegantně, tak (hodně pomalu) třeba:

$\frac{\mid 6\cdot12+5\cdot10\mid}{\sqrt{6^2+5^2}\cdot\sqrt{12^2+10^2}}=\frac{\mid 6\cdot2\cdot6+5\cdot2\cdot5\mid}{\sqrt{6^2+5^2}\cdot\sqrt{2^2\cdot6^2+2^2\cdot5^2}}=\frac{2\cdot\mid6\cdot6+5\cdot5\mid}{\sqrt{6^2+5^2}\cdot2\cdot\sqrt{6^2+5^2}}=\frac{2\mid6^2+5^2\mid}{2\cdot(6^2+5^2)}=1$ ,

protože $6^2+5^2$ je kladné, a proto $\mid6^2+5^2\mid=6^2+5^2$ .

Tychi · 05. 01. 2010 11:16

↑ musixx:Upravovala jsem jen jmenovatele. Kalkulačku umí použít každý a tazatel nejspíš nechtěl nebo nemohl. Mířila jsem tam co ty, jen jsem konec nedodělala(o:

Wotton · 05. 01. 2010 12:25

↑ kerami:

Co proboha znamená "Neovládám komutativní zákony"? To jako že nevíš že 2.5 je to samý jako 5.2?

musixx · 05. 01. 2010 12:40

↑ Wotton: Podle obtížnosti dotazu se leckdy dá poznat, co je lépe s nadhledem přejít, do čeho raději nešťourat a co lze u tazatele považovat za úspěch (tj. dostat se k té kýžené jedničce).

kerami · 05. 01. 2010 13:55

Píšu raději celý příklad, udělal jsem asi chybu, že jsem to nenapsal hned, myslel jsem si, že stačí jen ten zlomek, z kterého má potom vzniknout $1$ protože výsledek má být $\varphi=0$ . Zde je:

Vypočítejte odchylku přímky, je-li dáno: $a:5x+6y-1=0$ $b:10x+12y+1=0$

musixx · 05. 01. 2010 14:49

↑ kerami: Ten zlomek vlastně stačil - on totiž reprezentuje kosinus odchylky, no a kdy je $\cos\varphi=1$ s tím, že odchylku hledáme jen v docela omezeném intervalu? Že by $\varphi=0$ ?

Cheop · 05. 01. 2010 14:57 — Editoval Cheop (05. 01. 2010 15:11)

↑ kerami:
Pro odchylku přímek, které jsou v obecném tvaru platí:
$\rm{tg}\,\varphi=\frac{|a_1b_2-a_2b_1|}{|a_1a_2+b_1b_2|}\nl\rm{tg}\,\varphi=\frac{|5\cdot 12-10\cdot 6|}{|5\cdot 10+6\cdot 12|}\nl\rm{tg}\,\varphi=\frac{|60-60|}{|50+72|}\nl\rm{tg}\,\varphi=\frac{0}{122}=0\nl\rm{tg}\,\varphi=0\,\Rightarrow\,\varphi=0$

Odchykla je nulová.

PS: Z rovnic přímek je jasně vidět, že jde o přímky rovnoběžné tj. jejich odchylka bude nulová.
$a:5x+6y-1=0$
$b:10x+12y+1\nl5x+6y+\frac12=0$

kerami · 05. 01. 2010 15:23

↑ Cheop:↑ Tychi:↑ musixx: Děkuji všem, kteří se zapojili do mého problému.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2010 09:37 — Editoval kerami (05. 01. 2010 09:38)

Vzájemná poloha přímek v rovině

#2 05. 01. 2010 09:47 — Editoval musixx (05. 01. 2010 09:50)

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

#3 05. 01. 2010 10:39

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

#4 05. 01. 2010 10:47 — Editoval Tychi (05. 01. 2010 10:47)

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

#5 05. 01. 2010 11:05 — Editoval musixx (05. 01. 2010 11:08)

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

#6 05. 01. 2010 11:16

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

#7 05. 01. 2010 12:25

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

#8 05. 01. 2010 12:40

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

#9 05. 01. 2010 13:55

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

#10 05. 01. 2010 14:49

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

#11 05. 01. 2010 14:57 — Editoval Cheop (05. 01. 2010 15:11)

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

#12 05. 01. 2010 15:23

Re: Vzájemná poloha přímek v rovině

Zápatí