Matematické Fórum

becvaro · 05. 01. 2010 16:33

Napiste rovnici kruznice, ktera prochazi body A (2,1), B(3,0), C(0,5).

Vychazeji mi tam hroozny soustavy rovnic...nebo spis nevim jak na to...tak diky za rady.. ;)

Ivana · 05. 01. 2010 17:37

↑ becvaro: Řešíme jako determinant čtvrtého stupně

Rovnice kružnice procházející třemi body :

...a tady by mohl pomoci postup pro výpočet determinantu :-)

http://www.matweb.cz/determinanty

Wotton · 05. 01. 2010 17:39

Něco podobného řeší například kolega mihulik ve foru pro střední školy.

FliegenderZirkus · 05. 01. 2010 18:07

↑ becvaro:
Pro mě nejsympatičtější postup je najít prusečík os úseček AB, BC (nebo jiných dvou kombinací) a tak získat střed kružnice. Poloměr se pak určí jako vzdálenost tohoto středu od libovolného ze zadaných bodů ABC.

Pavel Brožek · 05. 01. 2010 18:45

↑ Ivana:

Ve druhém řádku jsi místo 1 psala 3.

Nikdy dřív jsem tento postup neviděl, vychází z nějakého obecnějšího?

Ivana · 05. 01. 2010 18:50 — Editoval Ivana (05. 01. 2010 19:08)

↑ becvaro:

Tak jsem to nakonec vypočetla přes ten determinant . Uff!

Za správnost však 100% neručím , tady se lehce může stát chyba ...

Toto je obecný tvar kružnice : $Ax^2+Ay^2+2Dx+2Ey+F=0$

a mě vyšlo : $2x^2+2y^2-14x+2y-240=0$

Jestli máš někde výsledek a jestli je toto správně , pak pokud budeš chtít, mohu poslat celý výpočet.

Ivana · 05. 01. 2010 18:51

↑ BrozekP:Zdravím :-) To si mně nepotěšil ...
No tak tím pádem to mám jinak. Tak nic :-(

becvaro · 05. 01. 2010 18:56

Tyjo, tak resit to pres determinant by me asi nenapadlo...
Kazdopadne diky moc.. ;)

Pavel Brožek

↑ becvaro:

$(x-9)^2 + (y-7)^2= 85$ je správně. (Spočítáno a ověřeno Mathematicou přes determinant podle Ivany.)

↑ Ivana:

Jak jsi na ten postup s determinantem přišla?

becvaro · 05. 01. 2010 19:00

$(x-9)^2 + (y-7)^2= 85$
JOJO...takle by to melo vychazet.. ;)

Ivana · 05. 01. 2010 19:14

↑ BrozekP: :-)

Tak nejprve k mému postupu , ptáš se proto, že mám špatně postup ? Jak jsem na to přišla ?

1. Vzala jsem si matematický vzorec pro kružnici , která prochází třemi body.

2. Vzala jsem si knížku , kde je postup pro výpočet determinantu čtvrtého stupně.

3. Opravila jsem si tu 3 na 1 a přepočetla jsem to a editovala jsem svůj příspěvek .

4. A tedˇ jdu od toho a už to nepřepočítávám . ...

Ivana · 05. 01. 2010 19:16

↑ Chrpa:Zdravím :-)
No tak jsem si zopakovala postup determinantu a malou násobilku a sčítání a odčítání. Já na všem vidím jen to dobré. :-)

Pavel Brožek

↑ Ivana:

Ten postup přes determinant zde funguje. Jinde nevím, nedokazoval jsem si to. A ptám se, protože mě zajímá, proč funguje a kde se vzal :-)

LukasM · 05. 01. 2010 19:25 — Editoval LukasM (05. 01. 2010 19:49)

↑ BrozekP:
Já myslím že to snad chápu. Matice reprezentuje jakousi soustavu lineárních rovnic, její řešení jednoznačně popíše rovnici kružnice. Tahle rovnice musí být splněna pro obecné x,y na té kružnici (první řádek) a pro všechny tři body (zbylé tři), přičemž rovnice kružnice bude mít vždy stejné koeficienty (takže všechny rovnice soustavy musí mít stejné řešení). Takže požadujeme, aby soustava měla netriviální řešení, a to má právě tehdy, když je její matice singulární, a to je právě tehdy, když je její determinant nula.

Ještě to rozepíšu: rovnici kružnice určitě půjde napsat jako $\alpha(x^2+y^2)+\beta x+\gamma y+\delta=0$ , v tom mi nikdo nezabrání. Najdeme-li koeficienty $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ , je rovnice kružnice jednoznačná a příklad vyřešený. My chceme ty koeficienty najít tak, aby rovnice platila v případě, že za x a y dosadíme kombinace 2,1; 3,0 a 0,5. Musí tedy platit také:
$\alpha(2^2+1^2)+2\beta+\gamma+\delta=0$ atd. pro zbylé dva body.

Pokud tedy z těch 4 rovnic sestrojíme soustavu pro $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ , a budeme požadovat existenci netriviálního řešení (a tedy nulovost determinantu matice soustavy), dostaneme vztah jaký musí platit mezi x a y. Tímto vztahem je hledaná rovnice kružnice. Řešení té soustavy rovnic pro ta řecká písmena nás nezajímá, stačí nám vědět že existuje.

Ivana · 05. 01. 2010 19:40

↑ BrozekP: Ve staré knize :
Matematické vzorce od Hans Jochen Bartsch SNTL 1971 , ale jen vzorce . Postup jsem si zvolila sama.
Takže můj postup je správný ? To by mně udělalo radost :

Chrpa · 05. 01. 2010 22:29 — Editoval Chrpa (05. 01. 2010 22:58)

↑ becvaro:
Asi nejjednodušší postup bude ten co navrhoval ↑ FliegenderZirkus:
1) Určit souřadnice S_AB
2) Určit souřadnice S_AC
3) Určit rovnici přímky kolmé k AB, která prochází S_AB
4) Určit rovnici přímky kolmé k AC, která prochází S_AC
5) Vypočítat průsečík těchto přímek (dostaneme souřadnice středu kružnice)
6) Dosadit do obecné rovnice kružnice se středem m,n jeden z bodů a dopočítat poloměr kružnice.

Když se toto vše provede, tak vyjde rovnice:
$(x-9)^2+(y-7)^2=85\nlx^2+y^2-18x-14y+45=0$
ad 1) $S_{AB}=(2,5;0,5)$
ad 2) $S_{Ac}=(1;3)$
ad 3) $x-y-2=0$
ad 4) $x-2y+5=0$
ad 5) $S_k=(9;7)$
ad 6) $r=\sqrt{85}$

jelena · 06. 01. 2010 12:28

Zdravím vás,

jen doplním, že zápis kružnice, jak uvádí ↑ Ivana:, je uveden zde a také u Bartsche (mám vydání z roku 1996 a je velmi nepovedené - třeba i v kapitole kružnice jsem teď našla překlep).

Ivanin postup jak sestavit rovnici kružnice přes determinant je v pořádku, asi jen nějaká drobnost při výpočtu. Odkud ale takový postup vznikl - velmi podezírám některého ze starých Řeků (asi bez determinantu). Odvozeno zde.

Já bych třeba nepoužila ani postup od kolegy ↑ Chrpa: - vždy na tento postup zapomínám (stejně, jako bych nepřišla na nápad se Silvestrovskou kružnici podle kolegy Olina) - jen bych standardně sestavila 3 rovnice kružnice ve středovém tvaru, jak navrhuje ↑ becvaro: (zřejmě měl jen nějaký překlep při úpravách - nemělo by tam vycházet nic strašného, jak popisuje ve svém příspěvku).

----
Pokud si nejste jisti, že Váš příspěvek navazuje na diskusi v tomto tématu, založte si prosím téma vlastní. (c) - a co bych tam asi napsala?

Pavel Brožek · 06. 01. 2010 12:52

Našel jsem na internetu, že jde takto postupovat i pro jiné kuželosečky (konkrétně zde). Tipnul bych si, že bude existovat ještě nějaký obecnější postup než jen pro kuželosečky. Až budu mít víc času, zkusím ještě něco najít (je možné, že je i něco v tom odkazu, moc jsem to zatím nezkoumal).

↑ jelena:

A ty si nejsi jistá, že tvůj příspěvek navazuje na diskusi?

jelena · 06. 01. 2010 13:31

BrozekP napsal(a):
A ty si nejsi jistá

To ani ne, ale libi se mi melodičnost vazby "si nejste jisti" (nikdy nejsem si jistá, kam se umisťuje "se" a "si" ve větě).

-----
... a že by i mluvnicky vzdělaný Čech někdy nevědel pověděti najisto, vyslovuje-li na př. hvizdnouti či hvízdnouti atp.

Ivana · 06. 01. 2010 18:59

↑ jelena: Zdravím Jeleno , :-)

Jsem ráda že jsem si nakonec ten postup sestavila sama jen z matematické sbírky vzorečků .

Pravda je , že výpočet je náročný na to , neudělat překlep ve výpočtu . Možná že dnes se takové příklady počítají přes nějaký ten matematický web . Nevím , ale možné to je , když máme kalkulačky , které počítají i zlomky a vytvářejí grafy , tak proč ne.

Já jsem to počítala jen s tužkou a papírem , holt ta stará škola :-(

Možná až dostanu chut´ a budu mít čas , si příklad i přepočítám. To by bylo , aby mi to nevyšlo !!

Tvůj obrat "si nejste jisti" se mi líbí a i mně zní velmi melodicky.
OT : Zdeněk tě pozdravuje :-)

jelena · 06. 01. 2010 19:45

Ivano, také u vás moc zdravím a přeji všechno nejlepší do nového roku. V Opavě máme překrasnou sněhovou nadílku, doufám, že u vás také :-)

Obdivuji Tvoji vytrvalost, se kterou se pouštiš do každého úkolu, a moc Tobě přeji, ať se daří vyřešit co nejvíce různých zapeklitostí :-)

Kolega Pavel naznačuje, že to zobecní na různé typy kuželoseček, tak mu v tom přeji hodně zdaru (snad je také autorem toho obratu, co tak obdivujeme).

Můj citát je z Pravidel českého pravopisu z roku 1926, tak ještě něco přidám: "Ve všech případech těchto a takových není pro pravopis pomoci jiné, než pamatovat si, které psaní ovládlo, a toho se držetí" - v kapitole o označování délek ve slově (mé oblibené téma).

Tak už tu ponechám prostor kolegovi pro zobecnění :-)

Pavel Brožek · 06. 01. 2010 19:49

↑ jelena:

Zdravím,

ano, jsem autorem toho obratu :-)

Pokud nějaké zobecnění z mé strany přijde, tak ne brzy, bohužel teď nemám dost času se více věnovat hledání.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2010 16:33

Rovnice Kružnice

#2 05. 01. 2010 17:37

Re: Rovnice Kružnice

#3 05. 01. 2010 17:39

Re: Rovnice Kružnice

#4 05. 01. 2010 18:07

Re: Rovnice Kružnice

#5 05. 01. 2010 18:45

Re: Rovnice Kružnice

#6 05. 01. 2010 18:50 — Editoval Ivana (05. 01. 2010 19:08)

Re: Rovnice Kružnice

#7 05. 01. 2010 18:51

Re: Rovnice Kružnice

#8 05. 01. 2010 18:56

Re: Rovnice Kružnice

#9 05. 01. 2010 18:59 — Editoval BrozekP (05. 01. 2010 18:59)

Re: Rovnice Kružnice

#10 05. 01. 2010 19:00

Re: Rovnice Kružnice

#11 05. 01. 2010 19:14

Re: Rovnice Kružnice

#12 05. 01. 2010 19:16

Re: Rovnice Kružnice

#13 05. 01. 2010 19:16 — Editoval BrozekP (05. 01. 2010 19:17)

Re: Rovnice Kružnice

#14 05. 01. 2010 19:25 — Editoval LukasM (05. 01. 2010 19:49)

Re: Rovnice Kružnice

#15 05. 01. 2010 19:40

Re: Rovnice Kružnice

#16 05. 01. 2010 22:29 — Editoval Chrpa (05. 01. 2010 22:58)

Re: Rovnice Kružnice

#17 06. 01. 2010 12:28

Re: Rovnice Kružnice

#18 06. 01. 2010 12:52

Re: Rovnice Kružnice

#19 06. 01. 2010 13:31

Re: Rovnice Kružnice

BrozekP napsal(a):

#20 06. 01. 2010 18:59

Re: Rovnice Kružnice

#21 06. 01. 2010 19:45

Re: Rovnice Kružnice

#22 06. 01. 2010 19:49

Re: Rovnice Kružnice

Zápatí