Matematické Fórum

Matik · 05. 01. 2010 22:05

s temito rovnicemi si nevim rady:
1/x+1/y= 1/14 resenim prirozena cisla
x^2+x+1= 3y^2 resenim opet prirozena cisla
x^2-3y^2= 1 aspon dve celociselna reseni

dekuji

Kondr · 05. 01. 2010 23:16

1) Vynásobíme 14xy a upravíme
xy-14x-14y=0
Chceme rozložit na součin, proto přičteme 196:
(x-14)(y-14)=196
Dále využijeme jednoznačnost rozkladu: 196 lze rozložit jen konečně mnoha způsoby, každý odpovídá nějaké dvojici x,y

3) Pellova rovnice -- fundamentální řešení určíme uhodnutím, další z rekurentních vztahů. Pokud chtějí jen dvě, není těžké uhodnout fundamentální a různými kombinacemi znamének vygenerovat další: (2,1),(-2,1),(-2,-1),(2,-1).

2) Vynásobíme 4:
4x^2+4x+4=12y^2
(2x+1)^2-12y^2=-3, substitucí 2x+1=t
t^2-12y^2=-3.
To je zobecněná Pellova rovnice.
Jedno řešení je (3,1). Fundamentální řešení rovnice t^2-12y^2=1 je (7,2). Proto další řešení dostaneme jako
$t_{n+1}=7t_n+24y_n\nl y_{n+1}=2t_n+7y_n$
Možné je také použít zápis jako Wolfram|Alpha.
Samozřejmě lze u t i y libovolně měnit znaménka.

Doporučuju něco přečíst o Pellově rovnici. lépe na mathworldu než na Wiki.

Matik · 07. 01. 2010 20:46

↑ Kondr:
ac na tim badam jak badam, netusim proc to fundementalni reseni a jak se dostanu primo k reseni,
dekuji

Kondr · 07. 01. 2010 21:07

↑ Matik:Fundamentální řešení je minimální, hledáme ho proto stylem: pro y=1? Nic. Pro y=2? Řešení!. A kdybychom měli zákeřnější rovnii, pokračovali bychom ve zkoušení. A jak se z fundamentálního řešení udělají všechna řešení, to je popsáno právě na tom MathWorldu
http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2010 22:05

Diofantické rovnice

#2 05. 01. 2010 23:16

Re: Diofantické rovnice

#3 07. 01. 2010 20:46

Re: Diofantické rovnice

#4 07. 01. 2010 21:07

Re: Diofantické rovnice

Zápatí