Matematické Fórum

misso44

Zdravim neviem si dat dady s tymto prikladom. Asi by sa tam mali pouzit sfericke transformacie. Dakujem

vysledok by mal byt 10/3*pi

Olin · 06. 01. 2010 13:21

Jen si dovolím nabídnout poněkud alternativní řešení: Zřejmě obě nerovnice vyjadřují dvě koule v prostoru, obě o poloměru 2, přičemž každá má střed na plášti té druhé. Situace vypadá následovně:

Bleděmodře jsou středy koulí, barevně jejich průnik, který jsem ještě rozdělil na dva kulové vrchlíky. Je patrné, že výška těchto vrchlíků je polovina poloměru koulí. Použitím vzorce pro objem vrchlíku máme
$S = 2 \cdot \[\frac 13 \pi v^2 (3r-v)\] = \frac 23 \pi \frac{r^2}{4}$3r-\frac r2$ = \frac{5}{12} \pi r^3$ .
Stačí už jen dosadit $r=2$ .

Řešení integrálem přenechám povolanějším kolegům.

misso44 · 06. 01. 2010 13:25

dakujem ti velmi pekne, vyzera to fakt zaujimavo, akurat to potrebujem cez ten trojny integral...

Olin · 06. 01. 2010 14:13 — Editoval Olin (06. 01. 2010 14:14)

Tak já se teda pokusím, už jsem to dlouho nedělal.
Za prvé - zřejmě se nic nezmění, budeme-li počítat objem tělesa daného
$x^2 + y^2 + (z+1)^2 \leq 4,\, x^2 + y^2 + (z-1)^2 \leq 4$ .
Uvedené těleso je symetrické podle roviny xy - jde totiž o dva spojené vrchlíky, jak jsem naznačoval předtím. Vypočtu objem $S'$ pouze jednoho vrchlíku, a to toho horního (příslušícího ale spodní kouli!), který je dán vztahy
$x^2 + y^2 + (z+1)^2 \leq 4,\, z \geq 0$ .
Transformuji do cylindrických souřadnic
$x = r \cos \varphi\nl y = r \sin \varphi\nl z = z$
a mám
$r^2 + (z+1)^2 \leq 4,\, z \geq 0$ .
Spočtu si, jak závisí $z$ na $r$ . Je to
$z \leq \sqrt{4-r^2}-1$ ,
a protože musí být $z$ nezáporné, je $r \leq \sqrt{3}$ .
Ještě připomínám, že jakobián této transformace je $r$ . Máme tedy
$S' = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{0}^{\sqrt{4-r^2}-1} r \mathrm{d}z \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{3}} $ r\sqrt{4-r^2}-r $ \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{2 \pi} \[ -\frac{r^2}{2}-\frac{1}{3} \left(4-r^2\right)^{3/2} \]_0^{\sqrt{3}} \mathrm{d}\varphi = 2 \pi \cdot \frac 56 = \frac 53 \pi$

Výsledný objem dostaneme vynásobením dvěma.