Matematické Fórum

limitky

zdravím, potřeboval bych pomoct spočítat jeden druh příkladu, pro n -> oo konkrétně (3^(n^2) + a^n)/ (2^(n^2) - a^n), zároveň bych se chtěl zeptat, proč 4^n jakoby vyhraje nad 3^(n^2) , když ten exponent je daleko vetší u toho druhéh výrazu a na závěr ješte jedna věc, tenhle druh příkladu se musí počítat tak, že se R rozkouskuje na intervaly a>1, a=1, lal<1,a=-1,a<-1 a ted to počítam pro ty intervaly, no a vždycky sem to počítal jen pro tyhle intervaly a dneska jsem se setkal s tím, že se to mělo dělat nějak , že pro a>1 , se musím rozhodnout, co vytknu, má se vytýkat to největší, takže bych vlastně pro a>1 a zároveň <3 vytýkal v čitateli ten první člen a pro a>3 už by se stal dominantní ten druhý člen a zároveň bych to zřejmě musel ješte takto rozkouskovat i ve jmenovateli a už mi to příjde spíš, že sem to nějak zle pochopil, nebo nakonec vážne těch výsledků musí být tolik?? Díky za jakoukoliv radu.

Rumburak

1. Především vyvrátíme omyl, že " $4^n$ vyhraje nad $3^{n^2}$ " - je tomu přesně naopak, neboť

$\frac {4^n}{3^{n^2}}=\frac {4^n}{3^{n\cdot n}}= \frac {4^n}{(3^n)^n}= $\frac {4}{3^n}$^n$ ,
přičemž "vnitřek" poslední závorky se s rostoucím n zmenšuje k nule, takže od jistého indexu počínaje platí $\frac {4}{3^n} < \frac {1}{2}$ a tedy

$\frac {4^n}{3^{n^2}}=$\frac {4}{3^n}$^n < \,$ \frac {1}{2}$^n$ ,
z kteréhožto odhadu plyne, že výraz zcela vlevo konverguje k nule (zároveň také proto, že nikdy není záporný).
Vyřeš si toutéž metodou i další obdobné případy.

2. Diskuse různých případů hodnot parametru $a$ se provádí proto, že chování poslounosti $(a^n)$ se v jednotlivých případech liší, například

- pro a > 1 je rostoucí s limitou +oo,
- pro a = 1 je stacionární (neboli konstantní) nabývající pouze hodnoty 1 (a tedy s limitou 1) atd.

a limita celého výrazu pak obecně závisí na hodnotách tohoto parametru .

3. ten úvodní příklad už nestíhám, ale možná že už ho dáš do kupy sám.

limitky · 06. 01. 2010 17:30

↑ Rumburak:

ok díky moc, jako je problém, že všichni máme v písemce takovouhle poznámku a>3 , a < 3 , i s pozkouškového výkladu jsem pochopil, že se to mělo ještě rozdělit na další intervaly, jediná možnost teda asi je, že učitelka si nevšimla, že u toho 3^n je 3^(n^2), je to tak ? Pak by to se to muselo ještě rozdělit na ty další intervaly že ?

Pavel · 06. 01. 2010 18:05

↑ Rumburak:

Ještě krátka poznámka k tomu, jak poznat, která exponenciální funkce "vyhraje". Stačí obě exponenciály převést na společný základ, např.
$4^n=3^{n\log_3 4}$ a toto srovnat s $3^{n^2}$ a je jasné, kdo "vyhraje" :-)

Rumburak · 07. 01. 2010 11:24

↑ Pavel:
Ano, to je šikovná metoda :-).

Rumburak

↑ limitky: Tento dotaz si ještě v klidu promyslím, abych se ve svém soudu nějak neunáhlil.

Rumburak

↑ limitky:
Skutečně, stačí využít, že pro libovolné $K>1$ a libovolnou hodnotu parametru $a$ je $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a^n}{K^{n^2}} = 0$ ,
a žádnou další diskusi ohledně $a$ nepotřebujeme:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\,\,\frac {3^{n^2}\,+\,a^n}{2^{n^2}\,-\,a^n}\,=\, \lim_{n \rightarrow \infty}\,\,$\frac{3}{2}$^{n^2} \cdot \frac{1\,+\,\frac{a^n}{3^{n^2}}}{1\,-\,\frac{a^n}{2^{n^2}}}\,=\, +\infty$ .

Co vaše učitelka mohla takovou diskusí mínit, jsem neobjevil. Druhou věcí je postup, který jste v té písemce použili Ty a Tví spolužáci,
možná se tam vyskytlo něco, co jí k popisované reakci dovedlo.
Také mohlo dojít k chybě zadání (ať již na straně učitelky nebo na straně vaší při opsání ze zdroje), a učitelka si nevšimla, že řešíte jinou úlohu,
než o které předpokládala, že jí řešíte, a mechanicky opravila jako chybu, když tam nenašla, co očekávala. I takové věci se mohou stát.
Asi by bylo nejlepší zeptat se přímo jí.

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2010 16:05 — Editoval limitky (06. 01. 2010 16:06)

limita s reálným číslem

#2 06. 01. 2010 16:44 — Editoval Rumburak (06. 01. 2010 17:02)

Re: limita s reálným číslem

#3 06. 01. 2010 17:30

Re: limita s reálným číslem

#4 06. 01. 2010 18:05

Re: limita s reálným číslem

#5 07. 01. 2010 11:24

Re: limita s reálným číslem

#6 07. 01. 2010 11:27 — Editoval Rumburak (07. 01. 2010 11:33)

Re: limita s reálným číslem

#7 07. 01. 2010 14:11 — Editoval Rumburak (07. 01. 2010 14:40)

Re: limita s reálným číslem

Zápatí