Matematické Fórum

kukulkan · 06. 01. 2010 11:00

prosím o pomoc s integrací pomocí substituce:∫sin²x dx

LukasM · 06. 01. 2010 11:05

Uprav si to pomocí vzorce pro cos 2x.

marnes · 06. 01. 2010 11:21 — Editoval marnes (06. 01. 2010 11:22)

↑ LukasM:

Je to takto - to je pro mě:-)

$\int{sin^2{x}}dx=\frac{1}{2}\int({sin^2{x}+sin^2{x}})dx=\frac{1}{2}\int({1-cos^2{x}+sin^2{x}})dx=\frac{1}{2}\int{(1-(cos^2{x}-sin^2{x}))}dx=\frac{1}{2}\int{(1-cos2x)}dx=...$

já jen že jsem to našel ve skupině per partes:-(

LukasM · 06. 01. 2010 11:28

↑ marnes:
Jo, to je správně. Akorát umělost těch kroků se dá ušetřit, když vyjdeš rovnou ze vzorce $cos 2x=cos^2 x-sin^2 x$ . Stačí do něj dosadit za $cos^2 x=1-sin^2 x$ a pak vyjádřit $sin^2 x$ . Takhle ty úpravy stejně děláš s tím, že víš že se tam ten vzorec má objevit (nejspíš).

marnes · 06. 01. 2010 12:28

↑ LukasM:dík

LukasM · 06. 01. 2010 12:53

↑ marnes:
Jen poznámka žes to našel ve skupině per partes (předtím jsem si jí nevšiml). Ono na tom není nic špatného, per partes to jde taky, a není to ani moc těžké. Jako jednu funkci ber jedničku a jako druhou ten $sin^2 x$ . Naskočí tam jiný integrál, který opět vyřešíme per partes a je to.

A šlo by to asi i substitucí t=tg (x/2) a taky t=tg x a potom rozložit na parciální zlomky. Prostě možností je víc.

Cheop · 06. 01. 2010 12:55 — Editoval Cheop (06. 01. 2010 13:20)

↑ LukasM:
Per partes jde i tak, že
u=sin(x)
v´=sin(x)

marnes · 06. 01. 2010 14:45

↑ Cheop:To jsem zkoušel a pokud jsem neudělal num chybu, vyšlo mi I=I

marnes · 06. 01. 2010 14:49

↑ LukasM:A taky mi to nejde:-(

Cheop · 06. 01. 2010 14:55 — Editoval Cheop (06. 01. 2010 15:10)

↑ marnes:
$\int\si^2x\,dx$
$u=\sin(x)\nlv^'=\sin(x)\nlu^'=\cos(x)\nlv=-\cos(x)$
$\int\si^2x\,dx=-\sin(x)\cdot\cos(x)+\int\co^2(x)\,dx\nl\int\sin^2x\,dx=-\sin(x)\cdot\cos(x)+\int(1-\sin^2(x))\,dx\nl2\int\sin^2(x)\,dx=x-\sin(x)\cdot\cos(x)\nl\int\sin^2(x)\,dx=\frac{x-\sin(x)\cdot\cos(x)}{2}+C=\frac 12\left(x-\frac{\sin (2x)}{2}\right)+C$

marnes · 06. 01. 2010 20:48

↑ Cheop:Hm, tak ten nápad jsem neměl. Int cos na druhou jsem zase dělal per partes a dostal jsem se k zadání. Děkuji

Chrpa · 06. 01. 2010 20:57

↑ marnes:
Není zač.

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2010 11:00

substituční integrace

#2 06. 01. 2010 11:05

Re: substituční integrace

#3 06. 01. 2010 11:21 — Editoval marnes (06. 01. 2010 11:22)

Re: substituční integrace

#4 06. 01. 2010 11:28

Re: substituční integrace

#5 06. 01. 2010 12:28

Re: substituční integrace

#6 06. 01. 2010 12:53

Re: substituční integrace

#7 06. 01. 2010 12:55 — Editoval Cheop (06. 01. 2010 13:20)

Re: substituční integrace

#8 06. 01. 2010 14:45

Re: substituční integrace

#9 06. 01. 2010 14:49

Re: substituční integrace

#10 06. 01. 2010 14:55 — Editoval Cheop (06. 01. 2010 15:10)

Re: substituční integrace

#11 06. 01. 2010 20:48

Re: substituční integrace

#12 06. 01. 2010 20:57

Re: substituční integrace

Zápatí