Matematické Fórum

Ahoj. Dneska mám povídavou náladu, tak zkusím něco vyplodit, než to zapadne, někdo mně třeba opraví/doplní.



a), b) vypadá dobře.

c) Nedokazuješ existenci jádra, jádro určitě existuje. V otázce chtějí dokázat existenci BÁZE jádra. Co je to jádro? To je jistá podmnožina definičního oboru toho zobrazení (u nás podmnožina R5), a to taková, že pro každé platí, že . Dá se snadno ukázat (plyne to z linearity A), že taková podmnožina je vždy podprostor toho definičního oboru, a navíc je určitě neprázdná, protože obraz nulového vektoru je vždy opět nulový vektor. Teď jak je to s existencí báze tohoto podprostoru. Pokud leží v jádru pouze nulový vektor, potom jádro nemá bázi (nulový prostor nemá bázi). Jakmile tam bude ještě nějaký nenulový vektor (což implikuje, že tam leží i jakýkoli jeho násobek - ker A je podprostor, jak jsem říkal), potom bázi má, a tvoří ji generující LN soubor vektorů z jádra.

S dimenzí jádra je to stejné jako s dimenzí jakéhokoli jiného podprostoru, pokud najdeme bázi, dá se určit podle počtu vektorů té báze. Navíc platí tzv. 2. věta o dimenzi (na různých školách se tomu říká různě), což je patrně to co jsi napsala, ale protože jsi nenapsala co je to Im a co je to V, tak ti jí nemůžu opravit. Ta věta říká, že h(A)+dim ker A=dim V, kde V je definiční obor toho zobrazení A. Tudíž u našeho příkladu z té věty dostaneme, že dim ker A=dim R5-h(A)=5-2=3. Bázi jádra budou tedy tvořit 3 vektory. To nám je pro naše účely ale k ničemu, protože my ty vektory potřebujeme i najít, ne jenom vědět kolik jich je. Takže na to musíme jít jinak.
Kdyby nám vyšla dim ker A=0 tak by to bylo něco jiného - mohli bychom rovnou říct, že jádro tvoří nulový podprostor a nemá bázi.


Takže jak na to půjdem.. Vezmu to úplně od začátku. Musíme najít vektor x takový, aby . Označme si jeho souřadnice v té zadané bázi jako . Musí tedy platit, že , přičemž e_1, e_2 atd. jsou jednotlivé vektory té báze. Díky linearitě to můžu upravit na . Teď do toho už můžu dosadit konkrétní čísla, protože obrazy těch bázových vektorů lehce vyčtu ze zadané matice (sloupce matice jsou obrazy bázových vektorů E5 zapsané v bázi E4). Platí tedy:
. Když to rozepíšu po složkách, dostanu soustavu rovnic:

.
Když se na to pozorně podívám, tak si všimnu, že matice takovéto soustavy je úplně stejná jako původní matice zobrazení v příslušných bázích, takže v praxi při počítání příkladů se nemusím zdržovat tímhle odvozováním, a prostě vyřeším soustavu rovnic, která je daná maticí zobrazení. Tato soustava opravdu má 3 LN nezávislá řešení, která odpovídají těm našem třem hledaným vektorům, tvořícím bázi jádra. Můžeš si vyzkoušet, že všechny tyto vektory (a libovolná jejich kombinace) se opravdu zobrazí na nulový vektor.



d) Pokud máme bázi (což my máme), dá se libovolný vektor z jádra z této báze nakombinovat, to nemá s lineárním zobrazením nic společného, takže by to neměl být problém (koeficienty lineární kombinace ale musíme nechat obecné, čísla nemáme odkud vycucat, pokud neznáme číselně složky vektoru x). Na druhou část té otázky odpověď už známe, někde nahoře jsem o tom už psal.

e) Tady moc nevím co chce autor příkladu slyšet.

Snad ti to trochu pomůže, i když jak to teď čtu, tak to moc srozumitelně nevypadá. Kdyžtak se ptej konkrétně co není jasný. Ostatní kolegy prosím, aby to po mně přečetli a upozornili na případné chyby.

↑ Stýv:
Však já ani netvrdím že jsem něco "odvodil". Jen vím, že mně osobně primitivní zkoumání problémů většinou pomohlo si uvědomit co jak funguje a proč. Takhle je podle mně líp vidět co to vlastně vyjde, když vezmu matici zobrazení jako matici jakési soustavy. Samozřejmě šlo napsat, že "to je přece jasný a na první pohled vidět", ale pokud by to tak bylo, tak by se tu na to autorka asi neptala.

Každopádně ti nebráním napsat stručnější, jasnější, a po všech stránkách lepší odpověď ;)

↑ Tina:
Ahoj. Podle mně je to vyřešené dobře. Akorát je trochu zmatek to dosazování "parametrů" t za jednotilvé neznámé - to je zbytečné, neuděláš nic jiného než že přejmenuješ proměnné. To můžeš přeskočit (a vyhnout se i těm úpravám k vyjádření gamma a beta pomocí parametrů), a prostě si volit neznámé už do té rovnice - zvolím alfu 1, sigmu a epsilon nuly. Potom betu rovnou vyčtu na levé straně, a gamu vypočítám ze druhé rovnice v matici. Pak zvolím jinou kombinaci. Samozřejmě ty početní operace jsou stejné, ale děláš je rovnou s čísly a nemotají se tam ta t.


Další věc je jenom značení, to se zeptám..co se myslí těmi špičatými závorkami? Počítám že "B ker A" je zkratka pro "báze ker A". Já mám bázi definovanou jako soubor vektorů a značil bych ji B=((1,3,0,0,0),(0,4,-1,2,0),(0,10,3,0,2)). Vy možná místo mých kulatých závorek používáte špičaté, ale většinou se spíš špičaté používají pro označení lineárního obalu souboru vektorů - a v tom smyslu ten zápis smysl nemá (báze není žádný lineární obal).

Pokud <> myslíte lineární obal tak by bylo by pravda, kdybys napsala "ker A=<(..),(..),(..)>" (bez toho B). Takový zápis ale obecně ještě neimplikuje že to uvnitř je báze - to se dá říct až potom co ukážeme, že vektory uvnitř jsou LN (případně že dim ker A=3). Takže pokud otázka zněla "najděte bázi", bylo by asi potřeba tam jedno z toho napsat, nebo možná lepší to zapsat tak jako zapisujete bázi. Snad je jasné co chci říct.


d) ano, s tím, že by bylo záhodno tam poznamenat co to jsou x_1,x_2,x_3.
A ještě je tam ta otázka co platí pro vektor pokud neexistuje báze ker A?


e) tady nevím. Jestli je řešení triviální nebo netriviální záleží přímo na tvaru vektoru x, a o tom nemůžeme nic říct. Možná by šlo říct "partikulární", ale tenhle termín se používá spíš v případě, že na pravé straně není nula. Někoho třeba něco napadne.

↑ Tina:
No, to jde o to jak to značíte vy, já ti ty kulatý závorky nenutím. Těch značení je strašně moc.

x_1,x_2,x_3 jsou obecně čísla z tělesa, v našem případě je těleso reálné, takže ano.
To s tím nulovým vektorem je taky dobře. Obecně to ale platí jen na prostorech konečné dimenze.