Matematické Fórum

tomidi · 05. 01. 2010 16:43

Ahoj ma problém s řešením jednoho příkladu.

Zatím jsem zjistil jestli to je bilineární forma, ale dále nevím.

Může mi prosím někdo pomoct?

tomidi · 05. 01. 2010 17:28

Opravdu si s ním nevím rady, prosím o pomoc.

Nenašel by se někdo?

LukasM · 05. 01. 2010 18:34 — Editoval LukasM (07. 01. 2010 21:12)

↑ tomidi:
Edit: to co tu píšu mlčky předpokládá symetrii té bilineární formy, viz diskuze níže. Omlouvám se všem koho to zmátlo.

Kvadratická forma příslušející bilineární formě je její diagonálou. Co je to diagonála bilineární formy? Pokud to víš, dáš dohromady předpis.

Matice kvadratické formy Q je rovna matici bilineární formy takové, že Q je její diagonálou, takže potřebuješ sestavit matici bilineární formy B. Jak je definovaná matice bilineární formy? Co je to standardní báze?

tomidi · 05. 01. 2010 19:06

↑ LukasM:

Mohl by si mi to vysvětlit na tomto příkladě? Nechápu ...

LukasM · 06. 01. 2010 14:14

↑ tomidi:
Zatím není co nechápat, jen se ptám na definice. Znáš odpovědi na ty otázky? Napiš je.

tomidi · 07. 01. 2010 12:52

↑ LukasM:

Neznám. Potřebuju pomoct. Ani předpis dohromady nedám.

Děkuji.

musixx · 07. 01. 2010 13:25

↑ tomidi: To se pak bohužel těžko pomáhá, když jedna strana ani neví, o čem je řeč. Tohle fórum může pomoct s dílčími problémy, nechce a ani nemůže fungovat jako náhražka nějakého doučování.

tomidi · 07. 01. 2010 14:53

↑ musixx:

I tak děkuju všem zučastněným za snahu.

Kondr · 07. 01. 2010 17:40

↑ LukasM: S tou diagonálo bych nesouhlasil.

K příkladu:

K bilineární formě B(u,v) danou maticí M definujeme její příslušnou kvadratickou formu jako Q(u)=B(u,u). Matice M přitom pro každé dva "stojaté" vektory splňuje vztah $u^TMv=B(u,v)$ . Po matici N formy Q analogicky chceme, aby splňovala $u^TNu=Q(u)$ a (protože takových je nekonečně mnoho) aby byla symetrická. Získáme ji proto jako $\frac12(M+M^T)$ , pokud je M symetrická, je M=N.

Jak se hledá matice bilineární formy se tu řešilo mockrát, stačí užít funkci Hledat. Na Lukášovu otázku co je to standardní báze bych asi odpovědět nezvládl: je standardnější $1,x,x^2$ nebo $x^2,x,1$ ?

Převod do kanonického tvaru je algoritmický, pokud tam jsou kvadráty, tak doplněním na čtverec, jinak je potřeba je tam nějak přidat.

LukasM · 07. 01. 2010 18:14 — Editoval LukasM (07. 01. 2010 18:16)

↑ Kondr:
Uznávám, že jsem chybně vynechal jsem předpoklad symetrie B. Udělal jsem to proto, že nám "bilineární formu" ve škole nezavedli, místo toho znám hermitovskou formu. Zběžně jsem prohlédl definici na wikipedii a přehlédl, že v ní chybí požadavek $B(x,y)=\overline{B(y,x)}$ , který musí splňovat moje "hermitovská forma" (pro každé x,y z V), takže jsem oba pojmy považoval za ekvivalentní. Omlouvám se.

Otázka na standardní bázi není až tak moje, jako spíš autora příkladu.

Je to doufám všechno co je špatně?

Kondr · 07. 01. 2010 20:35

↑ LukasM: Jo, šlo mi hlavně o tu diagonálu -- ta mi přišla dost zavádějící. Co se týče té standardní báze tak mě překvapilo, že ji bereš za samozřejmost -- sám nevím, kterou bych preferoval. Zbytek nebyl přímou reakcí na tvůj příspěvek, jen jsem chtěl napsat jak to s tou maticí kvadratické formy je v trochu širší souvislosti a uvést pár dalších hintů. Tak doufám, že to nevyznělo příliš kriticky.

LukasM · 07. 01. 2010 21:10

↑ Kondr:
Příliš kriticky určitě ne, jen jsem se lekl co jsem zase popletl. Pokud šlo o ten chybějící předpoklad symetrie, tak uznávám, mám zmatek v definicích a mluvil jsem tedy o něčem trochu jiném (ale aspoň jsem o tom teda snad mluvil správně, což bylo to co mně hlavně vyděsilo).

Pokud jde o standardní bázi - neberu ji za samozřejmost, když jsem tu otázku psal tak mi ale o to pořadí ani tolik nešlo. Hlavně mně zajímalo jaké polynomy ji tvoří a jestli je tedy tazatel s tím pojmem seznámen. Která z nich je "standardnější", na to je asi na různých školách různý názor, a pro pochopení principu to není moc podstatné.

Díky za připomínku a přeju pěknej večer.

Kondr · 07. 01. 2010 21:26

↑ LukasM: Moc nerozumím tomu předpokladu symetrie -- bilineární forma symetrickou matici mít nemusí, kvadratická ano, ale ty jsi nikde netvrdil opak, v tom problém nevidím. Já jsem akorát z tvého popisu pochopil, že matici kvadratické formy získáme tak, že zahodíme prvky, které nejsou na diagonále. Ty by se ale měly zprůměrovat s těmi na opačné straně diagonály (lépe to vyjádří vzorec: $N=\frac12(M+M^T)$ ).

V našem případě vyjde matice kvadratické formy stejná jako matice formy bilineární (jedničky všude).

LukasM · 07. 01. 2010 21:41

↑ Kondr:
Ne, tak to pozor, to jsem netvrdil. Já mám akorát jak tak na to koukám definované trochu jiné věci než zbytek světa.

Jsme-li na vektorovém prostoru V nad tělesem T, diagonála hermitovské formy B je pro mně zobrazení $Q: V \mapsto T$ takové, že pro každý vektor $x\in V$ platí: $Q(x)=B(x,x)$ . Takhle mám ten pojem definovaný. Potom to snad dává lepší smysl.

Ale tu symetrii stejně musím předpokládat, jinak bych nemohl tvrdit, že "Matice kvadratické formy Q je rovna matici bilineární formy takové, že Q je její diagonálou". Myslel jsem že to je ten problém.

Kondr · 07. 01. 2010 22:39

↑ LukasM: Aha :) Tak už si rozumíme. Pojem diagonála formy jsem nikdy neslyšel a ani google mi v tomto neporadil.

LukasM · 07. 01. 2010 22:47 — Editoval LukasM (07. 01. 2010 23:19)

↑ Kondr:
Jasně. Býval bych ho nepsal, kdybych tušil že je nestandardní. Bohužel jsem to nevěděl, všechno co znám je z jedněch skript (ČVUT FJFI, Jiří Pytlíček). Už v minulosti mně tu někde Rumburak poučil, že to co znám jako "lineární varietu" většina lidí nazývá "lineál", teď vidím že toho bude asi víc (hermitovská forma, diagonála apod.) Ke kvadratickým formám mám zas zaveden pojem "polára kv. formy", což je hermitovská forma jejíž je ta kvadratická forma diagonálou.. No nic, hlavně že si rozumíme. Dík za podnětnou diskuzi, jsem rád že to vím. Příště ten termín obejdu.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2010 16:43

bileneární forma

#2 05. 01. 2010 17:28

Re: bileneární forma

#3 05. 01. 2010 18:34 — Editoval LukasM (07. 01. 2010 21:12)

Re: bileneární forma

#4 05. 01. 2010 19:06

Re: bileneární forma

#5 06. 01. 2010 14:14

Re: bileneární forma

#6 07. 01. 2010 12:52

Re: bileneární forma

#7 07. 01. 2010 13:25

Re: bileneární forma

#8 07. 01. 2010 14:53

Re: bileneární forma

#9 07. 01. 2010 17:40

Re: bileneární forma

#10 07. 01. 2010 18:14 — Editoval LukasM (07. 01. 2010 18:16)

Re: bileneární forma

#11 07. 01. 2010 20:35

Re: bileneární forma

#12 07. 01. 2010 21:10

Re: bileneární forma

#13 07. 01. 2010 21:26

Re: bileneární forma

#14 07. 01. 2010 21:41

Re: bileneární forma

#15 07. 01. 2010 22:39

Re: bileneární forma

#16 07. 01. 2010 22:47 — Editoval LukasM (07. 01. 2010 23:19)

Re: bileneární forma

Zápatí