Matematické Fórum

sekulcanka · 07. 01. 2010 10:09

Ahojte, neviem si poradiť s jedným príkladom, tak som Vás chcela poprosiť, či mi neviete poradiť.Zadanie je : Pre aké x je funkcia y=log[x](x+3) rastúca. Má táto funkcia minimum a maximum? Vysvetlite. Tak ak by ste mi vedeli niekto poradiť, bola by som veľmi rada a vopred ďakujem.

Wotton · 07. 01. 2010 10:32 — Editoval Wotton (07. 01. 2010 10:34)

Takhle se to zderivuje, a protože Definiční obor je R+ (základ logaritmu musí být kladný) a na kladných číslech derivace záporná, tak je funkce v celém definičním oboru jaká? Má extrém?

sekulcanka · 07. 01. 2010 11:10

Ďakujem za vysvetlenie, ale mám ešte jednu otázku k tomu...nepatrí do definičného oboru podmienka, že x musí byť väčšie ako -3?

zdenek1 · 07. 01. 2010 11:19

↑ sekulcanka:
Ne $x>-3$ , ale to už je automaticky splněno.

jelena · 07. 01. 2010 11:19 — Editoval jelena (07. 01. 2010 11:20)

↑ sekulcanka:

zdravím,

pokud je x v základu, tak musí být kladné a nesmí být 1 (to je 1. podmínka), argument logaritmu (x+3) musí být kladný. Ovšem požadavek, že funkce je rostoucí splňuje pouze základ x větší než 1. Z toho se poskládá def. obor.

Souhlasí kolegové Wotton a kolega Zdeněk? Pozdrav :-)

Wotton · 07. 01. 2010 11:26

↑ jelena:

Buď pozdravena dobrá duše. S tím že x nesmí být 1 máš zcela pravdu, na to jsem zapomněl. Ale i pro x větší než jedna ta funkce bude klesající.

jelena · 07. 01. 2010 11:37

↑ Wotton:

zadání jsem rozuměla, že x je v základu: $y=log_x(x+3)$ to bude opravdu klesat pro x větší 1? Děkuji.

sekulcanka · 07. 01. 2010 11:44

Ďakujem ľudia, ale ja som dosť zabrzdená, takže vie mi niekto povedať aký je vlastne výsledok? je výsledkom že tá funkcia nemôže byť rastúca? a dá sa to riešiť aj inak ako cez derivácie?

sekulcanka · 07. 01. 2010 11:45

↑ jelena: hej to by ma tiež zaujímalo...

jelena · 07. 01. 2010 11:51

↑ sekulcanka:

souhlasí zadání? $y=log_x(x+3)$ - je to tak?

Wotton · 07. 01. 2010 11:54

↑ sekulcanka:

Řešení je, že definiční obor jsou kladná reálná čísla bez 1 a funkce je na celém definičním oboru klesající. Tudíž není nikde rostoucí ani nemá extrém.

A jako bonus navíc. limity pro x jdoucí k 0 zprava a pro x jdoucí k 1 zprava je plus nekonečno, pro x jdoucí k 1 zleva je mínus nekonečno a limita pro x jdoucí k (plus) nekonečnu je 1.

sekulcanka · 07. 01. 2010 11:57

[re]p88344|

áno, zadanie je správne

sekulcanka · 07. 01. 2010 11:59

↑ Wotton:

aha, oki už som v obraze, veľmi pekne ďakujem, snáď to nepopletiem :-)

jelena · 07. 01. 2010 12:09 — Editoval jelena (07. 01. 2010 18:32)

↑ Wotton:

Nevztahuje se to ke kolegyňce a ani k závěru, který máš ↑ Wotton: - nebudu do celého problému vnašet zmátek.

Jelena povídá něco, co vůbec nemá souvislost se zadání a napsal(a):
Zadání je totiž nekorektní pro SŠ - na SŠ se zavádí log se základem a (a ovšem považujeme za parametr). Proto v podmínkách SŠ se dá rozhodovat pouze o "pro které hodnoty parametru a funkce... je rostoucí). Také na SŠ lze řešit problém "definiční obor" takto zadané funkce. Ale to je všechno. Zadání $y=log_x(x+3)$ bych v podmínkách SŠ rozuměla pouze ve smyslu, že x budeme považovat za parametr. Je to tak?

Myslím, že více seriózní by bylo takové zadání prokonzultovat přímo s vyučujícím.

Děkuji za další názory.

EDIT: mé povídání v rámečku nemá žádnou souvislost s diskutovaným problémem.

sekulcanka · 07. 01. 2010 12:29

↑ jelena:

No keď sa mám priznať, ani ja sama neviem čo presne od nás chcú, lebo keď sme preberali logaritmy, základ sme mali vždy zadaný, takže sa mi takéto niečo rieši naozaj ťažko, ale bohužiaľ je to súčasťou jednej maturitnej otázky....okrem toho si to musíme vypracovať sami, takže niekedy vyučujúca ani nie je ochotná to na hodine rozoberať, ale myslím že za pokus to stojí a skúsim sa jej spýtať či nám k tomu môže niečo povedať...

Olin · 07. 01. 2010 12:41

Nevím, co se vám na té funkci nezdá, prostě dává "odpověď na otázku" "na co musím umocnit x, abych dostal x+3?"

Případně proveďte úpravu $\log_x (x+3) = \frac{\ln (x+3)}{\ln x}$ .

jelena · 07. 01. 2010 12:54

↑ Olin:

Už se mi to zdá - dojde kolega Olin a udělá ve všem absolutně jasno:-) Děkuji. Věřím, že z tohoto zápisu i kolegyňka odvodí, co potřebuje (mně je to již jasné, ještě jednou děkuji).

(důležité, že nepovídáš, že "něco je nemožné" - zatím jsi to řekl 2x u mé dovolené a pokaždé jsem byla odvolána do práce).

sekulcanka · 07. 01. 2010 12:58

↑ Olin:

no áno otázku dáva, ale čo odpoveď? a keď si aj odpoviem na tú otázku ,,na čo musím umocniť x, aby som dostala x+3´´ , stale nemám odpoveď na otázku, kedy je tá funkcia rastúca...

Olin · 07. 01. 2010 13:21

$\frac{\ln (x+3)}{\ln x}$ už je poměrně jasný funkční předpis, který lze bez obtíží (fuj, podíl) zderivovat.

sekulcanka · 07. 01. 2010 13:44

↑ Olin:

no to nie je také jednoduché, problém je totiž v tom, že my sme derivácie nebrali a máme to vypočítať nejakým zázrakom bez nich...že sa to dá deriváciami mi už ukázal kolega, lenže ja neviem čo s tým mám robiť, keď derivácie neprichádzajú do úvahy....

Olin · 07. 01. 2010 14:47 — Editoval Olin (07. 01. 2010 14:48)

Tak já se o to pokusím.
$f(x) = \log_x (x+3) = \frac{\ln (x+3)}{\ln x}$

Uvažujme nyní pouze $x > 1$ . Pro ty je zřejmě $f(x) > 1$ , protože přirozený logaritmus je rostoucí funkce, takže $\ln(x+3) > \ln x$ . Nyní pro spor předpokládejme, že existují taková $x_0>1,\, h>0$ , že $f(x_0+h) \geq f(x_0)$ . Označme $y = f(x_0),\, z = f(x_0+h)$ . Platí $x_0^y = x_0+3,\, (x_0+h)^z = x_0+h+3$ . Protože podle předpokladu $z \geq y$ a $x_0+h > 1$ , můžeme odhadnout $x_0+h+3 = (x_0 + h)^z \geq (x_0 + h)^y$ . Protože ale $y>1$ , musí být $(x_0+h)^y > x_0+h+3$ , jelikož $x^y$ je pro $x>1$ v každém bodě je "strmější" než $x$ (tady důkaz dost pokulhává - jak toto ověřit bez prostředků diferenciálního počtu?). Máme spor, protože jednak by mělo být $(x_0+h)^y \leq x_0+h+3$ , ale zároveň $(x_0+h)^y > x_0+h+3$ .

Toto není zrovna jeden z mých nejlepších důkazů. Je to aspoň trošku pochopitelné? Ještě nevím, co udělat pro $x < 1$ .

Někoho z kolegů napadá něco lepšího?

jelena · 07. 01. 2010 18:26

↑ Olin:

Nenapadá - předně bych sama nedošla u tohoto zadání na úpravu na podíl funkcí (což je docela smutný fakt v mém případě).

Kdybych došla (snad - ve věčerních hodinách mi to dochází lépe), tak bych dokazala prodiskutovat chování "podílu funkcí" (na intervalu od 0 do 1, kde je podíl "téměř číslo"/"záporné nekonečno" až "téměř číslo"/"záporná nula" a hned po jedničce, kde je "téměř číslo"/"kladná nula" atd). Náznak grafu bych vytvořila, ale vzhledem k použití pojmů v uvozovkách nezdá se mi to jako něco, co by se požadovalo v této otázce.

Možna by pomohlo, pokud by kolegyňka sekulcanka sem umístila více zadání ze stejného okruhu a nějaké další zadání z jiných funkcí (pokud má zájem, samozřejmě) s komentářem, zda kreslí grafy funkcí ze součtu funkcí, z podílu funkcí, grafy složených funkcí. Děkuji.

Nebo někdo z kolegů bude mít nápad, také děkuji.

sekulcanka · 07. 01. 2010 21:33

↑ jelena:

samozrejme mám záujem, pretože mám problém s viacerými príkladmi, tak budem naozaj šťastná keď mi ešte pomôžete lebo sa inak nemá s kým poradiť. Tak ak by sa vám niekomu chcelo, mám tu ešte jeden, kde si nie som celkom istá...no nie sú to už logaritmy ale ešte stále funkcie...takže mám určiť definičný obor a obor hodnôt funkcie: $y=6-sqr(6-2x-x^ 2)$ .definičný obor samozrejme viem urobiť, len neviem ako urobiť obor hodnôt...ďakujem

jelena · 07. 01. 2010 21:45

↑ sekulcanka:

Samozřejmě, že zde můžeš nechat poradit (oceňujeme zejména, když přicháziš s vlastním postupem nebo s popisem kroků, co jsi provedla a co konkréně není jasné).

Je v zadání odmocnina? - pak bych provedla takovou úpravu:

$y=6-\sqrt{6-2x-x^ 2}=6-\sqrt{-(x^ 2+2x+1)+7}=6-\sqrt{-(x+1)^2+7}$

Ovšem v tomto tématu není dotažena původní úloha - proto, prosím pro další úlohy nové téma. Děkuji.

Wotton · 07. 01. 2010 21:52

Předpoklákám, že zadání je takhle:
$y=6-\sqr{6-2x-x^ 2}$

Teď když si zjistíš, jaký je obor hodnot výrazu pod odmocninou (samozřejmě jen v definičním oboru), tak už jednoduše sopčteš jakých hodnot může nabývat ta odmocnina.

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2010 10:09

problem a maturitnym zadanim :-)

#2 07. 01. 2010 10:32 — Editoval Wotton (07. 01. 2010 10:34)

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#3 07. 01. 2010 11:10

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#4 07. 01. 2010 11:19

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#5 07. 01. 2010 11:19 — Editoval jelena (07. 01. 2010 11:20)

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#6 07. 01. 2010 11:26

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#7 07. 01. 2010 11:37

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#8 07. 01. 2010 11:44

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#9 07. 01. 2010 11:45

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#10 07. 01. 2010 11:51

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#11 07. 01. 2010 11:54

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#12 07. 01. 2010 11:57

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#13 07. 01. 2010 11:59

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#14 07. 01. 2010 12:09 — Editoval jelena (07. 01. 2010 18:32)

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

Jelena povídá něco, co vůbec nemá souvislost se zadání a napsal(a):

#15 07. 01. 2010 12:29

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#16 07. 01. 2010 12:41

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#17 07. 01. 2010 12:54

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#18 07. 01. 2010 12:58

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#19 07. 01. 2010 13:21

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#20 07. 01. 2010 13:44

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#21 07. 01. 2010 14:47 — Editoval Olin (07. 01. 2010 14:48)

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#22 07. 01. 2010 18:26

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#23 07. 01. 2010 21:33

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#24 07. 01. 2010 21:45

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

#25 07. 01. 2010 21:52

Re: problem a maturitnym zadanim :-)

Zápatí