Matematické Fórum

Kuba.Lofi · 03. 01. 2010 10:32

Zdravím, už se lopotím dost dlouho a nemohu stále přijít na jádro problému těchto tří příkladů:

zdenek1 · 03. 01. 2010 11:33

↑ Kuba.Lofi:

Označím poloměr koule $r$ a poloměr podstavy kužele $R$ .
Pro úhel $\alpha$ v trojúhelníku VST platí $\sin\alpha=\frac{r}{5r}=\frac15$ , proto $\tan\alpha=\frac1{2\sqrt6}$
V trojúhelníku VPA je $\tan\alpha=\frac R{6r}$ a porovnáním dostaneme $\frac R{6r}=\frac1{2\sqrt6}\ \Rightarrow\ R=\frac{sqrt6 r}2$
Povrch kužele je $S_{ku}=\pi R(R+s)$ , kde $s=|AV|$ . Z Pythagorovy věty v trojúhelníku VPA je
$s=\sqrt{R^2+36r^2}=\sqrt{\frac32r^2+36r^2}=\frac{5\sqrt6}2r$
Dosazením $S_{ku}=9\pi r^2$
Povrch koule $S_{ko}=4\pi r^2$
Poměr $\frac{S_{ku}}{S_{ko}}=\frac94$

Ivana · 03. 01. 2010 13:12

↑ Kuba.Lofi:
Posílám návod k 11.

Kuba.Lofi · 03. 01. 2010 18:11

Diky moc oboum radcum, projdu si to.

Kuba.Lofi · 04. 01. 2010 20:43

Tak good, pochopeno, a veděl by si někdo rady s tou 17tkou ?

Ivana · 07. 01. 2010 22:46

↑ Kuba.Lofi:

K té 17 .. snad zatím obrázek :

zdenek1 · 08. 01. 2010 09:45

↑ Kuba.Lofi:
17.

Takže $Q=\pi s(r_1+r_2)=3\pi(r_1^2-r_2^2)$ podle zadání
po úpravách
$s=3(r_1-r_2)$

Protože ty dva červené trojúhelníky na obr. jsou shodné a stejně tak modré, je
$s=r_1+r_2$
Řešením této soustavy dostaneš
$r_1=2r_2$ a $s=3r_2$

Nyní trojúhelníky $ADE\sim ACB$ , proto
$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$ . Po dosazení
$\frac{2r_2-4}{2r_2}=\frac{r_2}{3r_2}\ \Rightarrow\ r_2=3$
Označím $BC=2r$ ( $r$ je poloměr koule) a z Pyth. věty v tr. $ABC$ mám
$(2r)^2=(3r_2)^2-r_2^2\ \Rightarrow\ r=\sqrt2 r_2$

Stačí?