Matematické Fórum

Typek · 05. 01. 2010 22:42

mam nejake problemy s cisly:

1, Ukažte, že součin cifer libovolného celého dvojciferného čísla je vždy menší než to číslo.
2, Najděte všechna dojciferná čísla, která se rovnají dvojnásobku součinu svých cifer.
3, Najděte všechna dvojciferná čísla, jejichž druhé mocniny mají čtyři sudé cifry.

dekuji predem za pomoc

musixx · 06. 01. 2010 08:20 — Editoval musixx (06. 01. 2010 08:21)

↑ Typek: Tohle určitě nepatří mezi zajímavé úlohy - příště dávej do sekce (nejvýše) střední škola. V takovýchto případech je vhodné si hledané dvojciferné číslo x s ciframi a,b (v tomto pořadí) představit jako 10a+b a řešení hledat pro a i b z množiny nula až devět (nebo ještě navíc chtít 'a' nenulové, to je detail).

Nastíním jedničku: $b<10\ \Rightarrow\ a\cdot b<a\cdot10=10a\leq10a+b$ .

Typek · 07. 01. 2010 16:43

↑ musixx:
diks,
tu dvojku jsem dal
dvojciferné číslo x s ciframi a,b lze napsat 10a+b
10a+b=2ab
a=b/[10-2b]
pro a={1,2,3,4,5,6,7,8,9} je jedina dvojice cisel prirozenych a to a=3 b=6
tzn. cislo je 36

ale pro ad3, bych potreboval jeste mensi pomoc

musixx · 07. 01. 2010 16:59

↑ Typek: Nápověda první: kolik cifer vůbec má druhá mocnina dvouciferného čísla?

Typek · 07. 01. 2010 20:02

↑ musixx:
do cisla 31 trojciferne cislo
od cisla 32 dvojciferne cislo

musixx · 08. 01. 2010 08:53

↑ Typek: Odhad hledaného dvouciferného čísla y=10a+b (a,b jsou cifry) se dá udělat přísnější, protože druhá mocnina musí být alespoň 2000 a nejvýše 8888, tedy $45\leq y\leq94$ , zejména teda $4\leq a\leq9$ . Protože dále druhá mocnina bude sudá, pak také samo číslo y je sudé, tedy b je sudé. Když si spočteš, jak bude vypadat desítková cifra druhé mocniny, dostaneš $2ab+b^2/10\ ({\rm mod}\ 10)$ , kde pomocí lomítka myslím celočíselné dělení. Tato cifra je sudá pro $b^2/10$ sudé, tedy b=4 a b=6 nevyhovuje, protože 16 a 36 mají lichou desítkovou cifru.

Zbývají teda tři možnosti k vyšetření. Tady je otázka, kde přestat s obecným přístupem a prostě pár možností zkusit...

1. možnost: b=0. Tedy jde o číslo $y^2=100a^2$ , $4\leq a\leq9$ .
Snadno se projde, že pouze a=8 vyhovuje, tedy máme první řešení y=80.

2. možnost: b=2. Tedy jde o číslo $y^2=100a^2+40a+4$ .
Stovková cifra je $a^2+4a/10\ ({\rm mod}\ 10)$ , tedy pro 'a' postupně rovno 4,5,6,7,8,9 jde o cifry 7,7,8,1,7,4, ale 62^2 nevyhovuje, tedy máme jen řešení y=92.

3. možnost: b=8, tedy jde o číslo $y^2=100a^2+160a+64$ .
Úplně stejně jako 2. najdeme, že vyhovuje y=68 a y=78, pokud jsem teda počítal správně.

Snad se mi nepodařilo nic vynechat. A třeba také někdo jiný bude mít i nápad, který povede rychleji k cíli.