Matematické Fórum

jannie · 08. 01. 2010 10:26

Ahoj, prosím někoho, kdo má matice v malíčku, aby mi prozradil, jak se umocňují matice.

Například mám nějakou čtvercovou matici řádu 2 a chtějí po mně, abych ji umocnila na 15. Přeci nebudu 15krát provádět násobení. Kde je nějaký ten fígl?:)

Děkuji moc

musixx · 08. 01. 2010 10:37 — Editoval musixx (08. 01. 2010 10:43)

Jsme v sekci VŠ, tedy - matice tvoří okruh, takže "fígly" známé z zpočítání v okruzích/grupách jsou bezezbytku použitelné (třeba řád prvku, Eulerova věta, atd.). Ovšem ty se asi ptáš na matice s "normálními čísly", a tam toho moc není, pokud nejsou nějakého speciálního tvaru. Snad jen postupné umocňování: $A^{15}=A^3\cdot\left(\left(A^3\right)^2\right)^2$ (takže mi stačí pět násobení matic 2x2).

EDIT: Není třeba někde v té tvé matici 2x2 někde nula, nebo jedničky na hlavní diagonále, nebo opačná čísla na vedlejší diagonále nebo já nevím co, co by se dalo využít? Zkusilla sis matici jednou dvakrát vynásobit a podívala ses, jestli tam neobjevíš nějaké pravidlo? Abych byl konkrétnější, něco takového snadného se dá třeba najít pro matice typu $\left(\begin{matrix}a&b\nl0&1\end{matrix}\right)$ , kde potom můžeš snadno psát jejích stou mocninu atd.

FliegenderZirkus · 08. 01. 2010 10:41

↑ jannie:
Není to náhodou úkol na programování? Žádný zázračný postup pro umocňování neznám, pokud ta matice není nějak speciální.

jannie · 08. 01. 2010 10:43

↑ musixx:

Ok, díky. Doufala jsem, že to půjde nějak rychleji :)

musixx · 08. 01. 2010 10:45

↑ jannie: Jak ta matice vypadá?

jannie · 08. 01. 2010 10:53

↑ musixx:
neměla jsem zadanou nějakou konkrétní matici. měla jsem spíše na mysli kdybych dostala nějakou matici třeba řádu 5 ( s velkýma číslama )a chtěli po mně její 30 mocninu nebo tak podobně.
Děkuji Vám za pomoc. Už jsem si uvědomila ty zjednodušení u řádu 2 (když jsou pěkný čisla :))

Kondr · 08. 01. 2010 11:09

Jen bych doplnil, že "rychloumocňování" matic na vysoké mocniny lze provést přes Jordanův kanonický tvar -- matice se zapíše ve rvaru $A=BMB^{-1}$ , kde M je v JKT a pak $A^n=BM^nB^{-1}$ .

Jinak matice řádu 2 umíme rychle invertovat, takže by mohla vést cesta i přes $A^{15}=A^{-1}(((A^2)^2)^2)^2)$ .

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2010 10:26

umocňování matic

#2 08. 01. 2010 10:37 — Editoval musixx (08. 01. 2010 10:43)

Re: umocňování matic

#3 08. 01. 2010 10:41

Re: umocňování matic

#4 08. 01. 2010 10:43

Re: umocňování matic

#5 08. 01. 2010 10:45

Re: umocňování matic

#6 08. 01. 2010 10:53

Re: umocňování matic

#7 08. 01. 2010 11:09

Re: umocňování matic

Zápatí