Matematické Fórum

pavla.h. · 08. 01. 2010 15:30

mám dokázat, že součet třetích mocnicn tří za sebou jdoucích čísel(přiroz.) je dlitelný 9.
zkoušela jsem to dosazením k, k+1 a k+2, ale to nevychází a nic jinýho mě nenapada:(

Tychi · 08. 01. 2010 15:34

možná to půjde líp, když zvolíš k-1,k,k+1

pavla.h. · 08. 01. 2010 15:35

↑ Tychi:to právě taky ne. . .

musixx · 08. 01. 2010 15:41 — Editoval musixx (08. 01. 2010 15:42)

↑ pavla.h.: Pomůžu takto: výraz $k(k^2+2)$ je vždy dělitelný třema.

Tychi · 08. 01. 2010 15:42

a využíváš faktu, že jedno z těch tří je dělitelné třemi?

pavla.h. · 08. 01. 2010 16:07

jak toho ale využiju v součtu??? ach jo..

FailED · 08. 01. 2010 16:33 — Editoval FailED (08. 01. 2010 16:34)

↑ pavla.h.:
Jedno je dělitelné třemi, jedno dává zbytek 1 po dělení třemi, druhé zbytek 2
$(3k)^3+(3l+1)^3+(3m+2)^3$ To stačí roznásobit.

Nebo jak radí ↑ musixx: ke tvému prvnímu postupu ↑ pavla.h.: po roznásobení dostaneš
$3k^3+9k^2+15k+9 \equiv 3(k^3+2k) \quad \pmod{9}$
A musíš dokázat, že 3| (k^3+2k)=k(k^2+2), to uděláš pro k se zbytky 0, 1 a 2 po dělení třemi.

musixx · 08. 01. 2010 16:33 — Editoval musixx (08. 01. 2010 16:35)

↑ pavla.h.: $(k-1)^3+k^3+(k+1)^3=3k(k^2+2)$ . Sofistikovaně je jediný (nenulový) kvadratický zbytek modulo 3 jednička. "Lidsky" je číslo na pravé straně dělitelné devíti právě když je $k(k^2+2)$ dělitelné třemi. Pokud je 'k' samo dělitelné třemi, pak je to splněno. Pokud není, tak je 'k' tvaru 3m+1 nebo 3m-1. No ale každopádně je pak $k^2+2=(3m\pm1)^2+2$ dělitelné třemi.

EDIT: V současnosti bych se nenechal plést tím, co píše ↑ FailED:. Ne že by to bylo špatně, ale v kontextu ostatního je to teď matoucí.

pavla.h. · 08. 01. 2010 17:04

děkuju mo,konečně se chytam:)díky

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2010 15:30

dlitelnost

#2 08. 01. 2010 15:34

Re: dlitelnost

#3 08. 01. 2010 15:35

Re: dlitelnost

#4 08. 01. 2010 15:41 — Editoval musixx (08. 01. 2010 15:42)

Re: dlitelnost

#5 08. 01. 2010 15:42

Re: dlitelnost

#6 08. 01. 2010 16:07

Re: dlitelnost

#7 08. 01. 2010 16:33 — Editoval FailED (08. 01. 2010 16:34)

Re: dlitelnost

#8 08. 01. 2010 16:33 — Editoval musixx (08. 01. 2010 16:35)

Re: dlitelnost

#9 08. 01. 2010 17:04

Re: dlitelnost

Zápatí