Matematické Fórum

ondrej.hav

Dobrý večer, tak nevim jestli už jsem tak unavenej, nebo jestli je ten příklad tak blbej... Potřebuju vypočítat vlastní vektory matice $\begin{pmatrix}1&4&-1&5\nl 1&1&-1&3\nl 0&0&1&1\nl 0&0&1&3\nl\end{pmatrix}$ vlastní čísla mi vyšly $\lambda_1=3, \lambda_2=-1, \lambda_3=2+\sqrt{2},\lambda_4=2-\sqrt{2}$ A teď nemůžu vypočítat rovnice pro ty odmocniny $\begin{pmatrix}1+\sqrt{2}&-4&1&-5\nl -1&1+\sqrt{2}&1&-3\nl 0&0&1+\sqrt{2}&-1\nl 0&0&-1&-1+\sqrt{2}\nl\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\nl0\nl0\nl0\end{pmatrix}$ třeba takováhle. Můžete mi prosím poradit jak na to? Vůbec nejsem schopnej přijít na to jak se to odecte..
Jediný co bych jako viděl by byl nulovej vektor. Ale tak to může být řešením homogení suostavy vždy... Tak nevím... jestli něco zásadního přehlížím?

LukasM · 11. 01. 2010 01:19 — Editoval LukasM (11. 01. 2010 01:19)

↑ ondrej.hav:
Tak ti zase vynadám za značení. Matice soustavy reprezentuje celou soustavu, ne její řešení. Pokud má soustava pravou stranu, píše se tato přímo do matice. Rovnost co jsi napsal ty je nesmysl - už z principu se matice 4x4 nemůže rovnat sloupcovému vektoru ("matici" 4x1).

K dotazu - matice soustavy je myslím správně, ale není doupravená. Proč? V Gaussově eliminaci přece můžeme dál pokračovat, není potřeba se snažit něco v tom "vidět". Když se v posledním řádku zbavíš té -1čky (přičtením vhodného násobku předchozího řádku, nebo naopak), tak to určitě snadno dotáhneš do konce.

Prakticky to samé řešil kolega tady.

ondrej.hav · 11. 01. 2010 14:33

↑ LukasM:Jakej je ten vhodnej násobek... když tam něco přičtu tak se mi tam dostane ta odmocnina ne?? Mohl by jsi mi, prosím, ukazat jak tu matici dostanu do stupnovityho tvaru? Me tam proste vadi ty odmocniny...

LukasM · 11. 01. 2010 14:58

↑ ondrej.hav:
No, tak si zkus vynásobit poslední řádek číslem $1+\sqrt2$ , pak už to v tom doufám uvidíš.

Obecně jde na horní stupňovitý tvar převést každou nenulovou matici. Vždy se dá toho vedoucího prvku zbavit tak, že ten daný řádek vynásobíš vedoucím prvkem předchozího, a předchozí vedoucím prvkem toho daného - pak budou mít oba stejné vedoucí prvky, a stačí tedy jeden od druhého odečíst a je tam nula. Tady je to jednoduché, jeden z těch prvků je dokonce -1čka, takže vlastně násobíš jen jeden řádek a sčítáš. Snad je jasné co chci říct.

ondrej.hav · 11. 01. 2010 15:19

↑ LukasM: :-D To je to co jsem potřeboval slyšet. 1. že to vždycky jde a 2. že to vynásobím tím číslem.... je to jasny díky...

ondrej.hav · 11. 01. 2010 16:03

Takže ještě se pro jistotu zeptám... $\begin{pmatrix}1+\sqrt{2}&-4&1&-5\nl -1&1+\sqrt{2}&1&-3\nl 0&0&1+\sqrt{2}&-1\nl 0&0&-1&-1+\sqrt{2}\nl\end{pmatrix}$ Pokud tady vynásobím 2. a 4. řádek $1+\sqrt2$ tak dostanu $\begin{pmatrix}1+\sqrt{2}&-4&1&-5\nl 0&-1+2\sqrt{2}&2+\sqrt{2}&-8-3\sqrt{2}\nl 0&0&1+\sqrt{2}&-1\end{pmatrix}$ tady si tu poslední neznamou (d) urcim jako parametr... ? taze d=u potom $(1+\sqrt2)c-u=0$ a $c=\frac{u}{1+\sqrt2}$ a $b=\frac{24+13\sqrt{2}}{7}u$ atd...? Zdá se mi to pořád hodně složitý na to, že bych ho měl spočítat za 10 minut... není tam ještě nějakej zjednodušující krok?

LukasM · 11. 01. 2010 16:18 — Editoval LukasM (11. 01. 2010 16:19)

↑ ondrej.hav:
Aha, trochu jsem to pohnojil. Ve tvém úplně prvním příspěvku jsem přehlédl, že jsi se nezbavil ani té -1čky ve druhém řádku, takže můj návod byl na odstranění až té -1čky v posledním řádku. Snad tě to někde moc nezmátlo, i když shodou okolností tam jsou v obou případech stejná čísla. Omlouvám se.

K dotazu. Že si určíš parametr.. no tak si ho urči. Když napíšeš d=u, tak jsi nic neurčil, jen jsi přejmenoval neznámou. Zvol nějaká konkrétní dvě čísla, která splní tu poslední rovnici - a vol je nějak šikovně, aby tam bylo co nejmíň počítání. Tady se třeba nabízí zvolit za d=1+sqrt(2). Zvládneš zbytek?

Edit: Jo, a to zahazování nulových řádků je podle mně dost ošklivý zvyk, jak už jsem ti někde psal.

ondrej.hav · 11. 01. 2010 16:33

↑ LukasM: Tak já jsem si právě chtěl určit jako obecný řešení. Tzn. to u je parametr a jeho hodnotu bych zvolil až na konci a dosadil do toho vyjádření. Ale asi to pak bude jednodušší, když to určím rovnou. Jinak zahazovat ty nulový řádky nás učili ve škole... Mě se to zdálo logické, když tam jsou 2 shodné rovnice a tu jednu vypustím, tak se řešení nezmění... Takže jsem se to naučil takhle. Je nějaký důvod proč je nezahazovat?

LukasM · 11. 01. 2010 16:39

↑ ondrej.hav:
Parametr dosadit na konci klidně můžeš, ale holt to bude za cenu těžšího vyjadřování. Když zvolíš konkrétní čísla, můžeš je zvolit šikovně a vlastní vektor ti z toho vyleze rychleji.

K zahazování řádků. Řešení se samozřejmě nezmění. Důvod proč jsem říkal že je to zvláštní je zkrátka to, že jsem to nikdy neviděl nikoho dělat. Pokud chceš, zahazuj je, tady to snad nevadí - ale aspoň si pamatuj že tam byly.

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2010 00:50 — Editoval ondrej.hav (11. 01. 2010 01:11)

Rovnice maticově...

#2 11. 01. 2010 01:19 — Editoval LukasM (11. 01. 2010 01:19)

Re: Rovnice maticově...

#3 11. 01. 2010 14:33

Re: Rovnice maticově...

#4 11. 01. 2010 14:58

Re: Rovnice maticově...

#5 11. 01. 2010 15:19

Re: Rovnice maticově...

#6 11. 01. 2010 16:03

Re: Rovnice maticově...

#7 11. 01. 2010 16:18 — Editoval LukasM (11. 01. 2010 16:19)

Re: Rovnice maticově...

#8 11. 01. 2010 16:33

Re: Rovnice maticově...

#9 11. 01. 2010 16:39

Re: Rovnice maticově...

Zápatí