Matematické Fórum

PeterSheldon

Psali jsme dnešním dnem zápočtový test z limit a moc se nepodařil... Ani po naučení definic a spočítání několika příkladů + vaší pomoci , kde jste mi spočítali některé trikové příklady ze sbírky jsem přesto test nezvládnul úplně dobře

jak se to tedy dá spočítat?

ve 3 příkladu je chyba... druhý člen je -e^(-x)

Wotton · 12. 01. 2010 14:04

Tak zkusím tu 1)

Defioniční obor je R+ kvůli odmocninám, proto tu absolutní hodnotu ani nemusím uvažovat.
Takže:
$(x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}})'=\nl(x)'+(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}})'=\nl 1+(x+\sqrt{x+\sqrt{x}})'\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=\nl1+((x)'+(\sqrt{x+\sqrt{x}})')\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=\nl 1+(1+(x+\sqrt{x})'\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}})\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=\nl 1+(1+((x)'+(\sqrt{x})')\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}})\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=\nl 1+(1+(1+\frac{1}{2\sqrt{x}})\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}})\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}$

to znamená, že jsem použil několikrát pravidlo na derivování složené funkce a derivování součtu.

Výsledná derivace by se pak mohla ještě nějak upravit.
$1+(1+(1+\frac{1}{2\sqrt{x}})\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}})\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=\nl 1+(1+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}})\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=\ \ldots$

Wotton · 12. 01. 2010 14:19

A pokus o 3)

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-e^x-2x}{x-\sin x}=\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{-2x}{x-\sin x}=\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\frac{-2x}{x}}{\frac xx-\frac{\sin x}{x}}$
Čímž vznikla limita typu 1/0 která zleva jde do +nekonečna a z prava do -nekonečna.

PeterSheldon · 12. 01. 2010 14:35

↑ Wotton:

ta trojka neplatí, mám chybu v zadání ... druhý člen je e^(-x)

Wotton · 12. 01. 2010 14:39

↑ PeterSheldon:

se mi to hned zdálo nějak podezřele jednoduchý...

musixx · 12. 01. 2010 14:47

2) Platí přeci $\sin(x)\approx x$ a $\cos(x)\approx 1$ pro x blízké nule, tedy ta limita je podle mě $e$ .

Wotton · 12. 01. 2010 14:48

Pomocí l'Hospitala je to takhle, ...
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x+e^{-x}}{\cos x}=2$
... ale ještě bych to chtěl nejak dokázat bez něj...

Wotton · 12. 01. 2010 14:53

↑ musixx:

Máš pravdu.

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2010 13:28 — Editoval PeterSheldon (12. 01. 2010 14:35)

zápočtový test z limit

#2 12. 01. 2010 14:04

Re: zápočtový test z limit

#3 12. 01. 2010 14:19

Re: zápočtový test z limit

#4 12. 01. 2010 14:35

Re: zápočtový test z limit

#5 12. 01. 2010 14:39

Re: zápočtový test z limit

#6 12. 01. 2010 14:47

Re: zápočtový test z limit

#7 12. 01. 2010 14:48

Re: zápočtový test z limit

#8 12. 01. 2010 14:53

Re: zápočtový test z limit

Zápatí