Matematické Fórum

Jacob02 · 14. 01. 2010 01:02

Mam problem s timto:

urcity integral od 0 do 1 z: 1/(x^2-3x-2). Snazil jsem se udelat koreny jmenovatele a rozdelit na parc. zlomky, ale jsou to hnusna cisla. Pak jsem overil tohle:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … rom+0+to+1

Nemate nekdo napad, jak to udelat jednoduse? :P

Kondr · 14. 01. 2010 03:09

Nechť c,d jsou kořeny polynomu x^2-3x-2. Použijeme rozklad na parciální zlomky
$\frac{1}{x^2-3x-2}=\frac{1}{c-d}(\frac{1}{x-c}-\frac{1}{x-d})$
a zintegrujeme -- vyjde nám nějaký rozdíl logaritmů. Že se to dá ekvivalentně zapsat pomocí hyperbolických funkcí nás nemusí trápit.

mlcuchj · 14. 01. 2010 10:03

$\frac{1}{x^2-3x-2}=\frac{1}{x^2-3x2\frac12+\frac94-\frac{17}{4}}=\frac{1}{(x-\frac32)^2-\frac{17}{4}}=\frac{1}{\frac{17}{4}\left(\left(\sqrt{\frac{4}{17}}(x-\frac32)\right)^2-1\right)}=\frac{4}{17\left(\left(\frac{2}{\sqrt{17}}(\frac{2x-3}{2})\right)^2-1\right)}=\frac{4}{17\left(\left(\frac{1}{\sqrt{17}}(2x-3)\right)^2-1\right)}=$
konstanta se vytkne a na to co zůstane se použije vzorec
$\int{\frac{dx}{1-y^2}}=\frac12ln|\frac{1+y}{1-y}|$ v tom našem integrálu jen vytkneme -1 a uděláme substituci $y=\frac{1}{\sqrt{17}}(2x-3)$

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2010 01:02

integral - mnohoclen ve jmenovateli

#2 14. 01. 2010 03:09

Re: integral - mnohoclen ve jmenovateli

#3 14. 01. 2010 10:03

Re: integral - mnohoclen ve jmenovateli

Zápatí