Matematické Fórum

evissska · 14. 01. 2010 22:07

Ahoj, nějak si nedokážu poradit s jedním víceméně teoretickým příkladem. Mám najít infimum množiny takových racionálních čísel, jejichž druhá mocnina je větší jak 2. Mohl byste mi někdo po lopatě vysvětlit, proč to infimum neexistuje? Děkuju moc.

check_drummer · 14. 01. 2010 22:31

Asi to půjde i bez využití reálných čísel, já je však použiju: Pro spor předpokládejme, že toto infimum I existuje. Jistě nebude rovno sqrt(2), protože to není racionální číslo. Pokud je I větší nebo menší než sqrt(2) (tj. I^2 je větší nebo menší než 2), pak díky tomu, že jsou racionální čísla hustá, najdu J, které je (tady použiju reálná čísla, ale bez nich by bylo J možno také sestrojit) rovněž větší nebo menší než sqrt(2) a jeho vzdálenost od sqrt(2) je menší než I. Pak dostaneme spor s definicí infima (že je větší než nějaký prvek množiny resp. není největší).

evissska · 14. 01. 2010 23:25

Dík moc, mám ještě jeden dotaz. Jak to, že mohu vyloučit tu odmocninu ze dvou? Myslela jsem, že infimum je reálné číslo, nehledě na tu množinu (tj. infimum samo nemusí bejt racionální jen proto, že jej hledám v racionální množině,ne?). Takže to neplatí?

check_drummer · 15. 01. 2010 00:03

infimum nemusí být reálné číslo, dokonce to nemusí být ani číslo. Důležité je, že odmocnina ze dvou není racionální číslo. Ze zadání jsem pochopil, že infimum máme hledat jen v množině racionálních čísel.

Olin · 15. 01. 2010 00:04 — Editoval Olin (15. 01. 2010 00:18)

A já to cvičně zkusím bez reálných čísel. No, bude to poněkud masakr, držte se.

Za prvé, předpokládám, že v zadání se hovoří pouze o množině nezáporných racionálních čísel, jejichž druhá mocnina je větší než dva, jelikož třeba $(-1000000)^2 > 2$ , takže infimum takovéto množiny by bylo asi $-\infty$ (tady by možná opět mělo smysl přemýšlet nad tím, jestli toto má smysl, ale vyhnu se tomu).

Takže - množina, která nás zajímá, je následující:
$A = \{ x \in \mathbb{Q}_0^+ | x^2 > 2 \}$ .
Já si k tomu ještě přidám množinu
$B = \{ x \in \mathbb{Q}_0^+ | x^2 < 2 \}$ .
Platí, že $\mathbb{Q}_0^+ = A \cup B$ a $A \cap B = \emptyset$ (protože druhá mocnina racionálního čísla je racionální číslo a to je vždy buď větší nebo menší než 2) - tzn. všechna nezáporná racionální čísla jsou teď rozdělena do těchto dvou množin.

Předpokládejme, že existuje $I = \inf A,\, I \in \mathbb{Q}$ . Jistě je $I$ kladné, tedy buď $I \in A$ , nebo $I \in B$ . Jelikož je $I$ racionální, lze ho jednoznačně zapsat ve tvaru $I = \frac pq,\, p, q \in \mathbb{N},\, \text{NSD}(p, q) = 1$ .

Předpokládejme nejprve, že $I \in A$ , tedy $I^2 > 2$ . Ukážeme, že vždy umíme najít takové $k \in \mathbb{N}$ , aby $2 < $\frac{kp - 1}{kq}$^2 < $ \frac pq $^2$ . Upravujme levou nerovnost:
$(kp - 1)^2 > 2 (kq)^2\nl k^2 p^2 - 2 kp + 1 > 2 k^2 q^2\nl 1 > 2 k^2 q^2 - k^2 p^2 + 2 kp\nl \frac 1k > 2 k q^2 - k p^2 + 2p\nl 2p - \frac 1k < k(p^2 - 2q^2)$

Připomínám, že předpokládáme $I^2 = $ \frac pq $^2 > 2$ , tedy $p^2 - 2q^2 > 0$ . Vidíme, že stačí zvolit např. libovolné $k > \frac{3p}{p^2 - 2q^2}$ , protože pak $k(p^2 - 2q^2) > \frac{3p}{p^2 - 2q^2} (p^2 - 2q^2) = 3p > 2p - \frac 1k$ .

Co jsme tedy našli? Číslo $J = \frac{kp - 1}{kq}$ je racionální, zřejmě splňuje $J < I$ a zároveň $J \in A$ . Připomeňme, že pro infimum $I$ musí platit, že pro všechny $x \in A$ je $x \geq I$ . My jsme ovšem našli $J \in A$ tak, že $J < I$ - spor.

Analogicky to provedeme pro případ $I \in B$ - jen budeme volit $J = \frac{kp+1}{kq}$ a podobně nalezneme $k \in \mathbb{N}$ , že $I^2 < J^2 < 2$ , což bude spor s tím, že infimum je ze všech dolních závor ta největší. Dohromady máme, že $I \notin A \wedge I \notin B$ , takže $I \notin \mathbb{Q}$ .

Uf, to byla esej. Teď ještě k té druhé otázce - pokud se na celou věc podíváme v reálných číslech, pak je infimum té množiny samozřejmě odmocnina ze dvou. Myslím si, že to, co se po nás chce, je podívat se na celou věc pouze z pohledu racionálních čísel, tj. že jsme sestrojili v racionálních číslech množinu, která ovšem v racionálních číslech nemá infimum. Tím se chce zdůraznit ten rozdíl oproti reálným číslům, že v reálných číslech má každá množina infimum.