Matematické Fórum

Hledat souřadnice vektoru x znamená řešit soustavu rovnic danou maticí

1  1 0|x1
-1 -1 1|x2
0 -1 -2|x3

což je ekvivalentní s tím, že vektor x násobíme maticí inverzní k matici levých stran. Zmíněná inverzní matice je hledanou maticí zobrazení. Že jde o lineární zobrazení pak plyne z vlastností násobení matic. Zkus kdyžtak vyhledat nějaké důkazy, že je zobrazení lineární na fórunebo jinde na netu -- je to spíš slohové cvičení :)

↑ kajbl: Na matici zobrazení jsou užitečné dva pohledy: 1) jak píšou na wiki, je to matice, v níž sloupce tvoří souřadnice obrazů bázových vektorů
2) je to taková matice, kterou když zleva vynásobíme souřadnice vzoru, dostaneme souřadnice obrazu.
Označme M matici
1  1 0
-1 -1 1
0 -1 -2
Hledat řešení soustavy zmíněné soustavy znamená hledat vektor b takový, že Mb=x. Takovým vektorem je ale . Naše zobrazení tedy vektoru x přiřazuje vektor , takže díky 2) je hledanou maticí matice . Předpokládám, že matici zobrazení hledáme vůči kanonické bázi.

↑ kajbl: Když dokážeš, že zobrazení odpovídá násobení maticí, pak z toho plyne, že jde o lineární zobrazení. Nemohu ale 100% zaručit, že ti takový důkaz učitel odsouhlasí -- dokázat lineraitu zobrazení znamená dokázat ty dvě definiční vlastnosti.

Ano, x je v našem případě obraz a b vzor.

Řekněme, že máme zobrazení, které vektoru (1,0,0) přiřazuje (1,2,3), vektoru (0,1,0) přiřazuje (4,5,6) a v. (0,0,1) vektor (7,8,9).
Vzhledem ke kanonické bázi bude mít toto zobrazení matici
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Kdybychom hledali jeho matici vzhledem k bázi B={a,b,c}, našli bychom obraz vektoru  a, spočítali souřadnice tohotot obrazu vzhledem k bázi B a dali je do prvního sloupce. (druhý a třetí sloupec analogicky z b,c).