Matematické Fórum

szuszana1 · 15. 01. 2010 15:45

Viete niekto vyriesit takyto sucet radu pls?

$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{ne^n}}$

stenly · 15. 01. 2010 16:31

↑ szuszana1:Integruj výraz pro proměnnou n od nuly do nekonečna!!
Stenly

szuszana1 · 15. 01. 2010 19:08

↑ stenly: neexistuje aj nejake ine riesenie? mohli by tam byt pouzite ciastocne sucty...

a co sa tyka toho integralu, tak ked integrujes funkciu tak pocitas obsah pod nou (ak spravne rozumiem), ale ked pocitas sumu tak spocitavas len hodnoty, kde n je prirodzene cislo ... a tieto sumy sa budu rovnat???

lukaszh · 15. 01. 2010 21:50

↑ stenly:
To nie je pravda.

↑ szuszana1:
Skôr predpokladám počiatočné n = 1. Rad môžeš prepísať do formy
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\rm{e}^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{\rm{e}}\right)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cdot x^n$

Ide o mocninový rad s polomerom konvergencie R = 1 a stredom v bode 0. Číslo 1/e iste padne do intervalu konvergencie. Rad, ktorý vznikne derivovaním člen po člene bude mať rovnaký charakter ako pôvodný mocninový rad, teda bude konvergovať na (-1,1). Súčet bude

Dosadením pôvodnej hodnoty x = 1/e bude
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\rm{e}^n}=\ln$\frac{1}{1-\frac{1}{\rm{e}}}$=\boxed{1-\ln(\rm{e}-1)}$

szuszana1 · 15. 01. 2010 22:08

↑ lukaszh:

Dakujem kraaasne, taketo nieco som potrebovala. :)

jarrro · 16. 01. 2010 09:10 — Editoval jarrro (16. 01. 2010 10:56)

↑ lukaszh:↑ szuszana1:alebo sadá uvažovať aj $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n\mathrm{e}^n}\cdot x^n}$ deriváciou dostaneme $\frac{1}{\mathrm{e}}\sum_{z=0}^{\infty}{\left(\frac{x}{\mathrm{e}}\right)^z}=\frac{1}{\mathrm{e}-x}$ integráciou dostaneme
$-\ln{\left(\mathrm{e}-x\right)}+C$ hodnota v x=0 je zrejme nula preto C=1 súčet pôvodného radu je preto $1-\ln{\left(\mathrm{e}-1\right)}$

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2010 15:45

sucet radu

#2 15. 01. 2010 16:31

Re: sucet radu

#3 15. 01. 2010 19:08

Re: sucet radu

#4 15. 01. 2010 21:50

Re: sucet radu

#5 15. 01. 2010 22:08

Re: sucet radu

#6 16. 01. 2010 09:10 — Editoval jarrro (16. 01. 2010 10:56)

Re: sucet radu

Zápatí