Matematické Fórum

fofo7859 · 16. 01. 2010 10:59

poprosil by som nakopnut v rieseni:
3x-2y+4z=1
2x+3y-6z=2
dakujem....

Olin · 16. 01. 2010 11:02

Vynásobit první třemi, druhou dvěma a sečíst?

fofo7859 · 16. 01. 2010 11:22

fofo7859

↑ fofo7859:

toto su vysledky,co vraj by mali vyjst:
(x, y, z) =
7/13,4/13+ 2t, t

, t patri R

mne ale vyslo:
9/13,1/6,-12/73....a neviem ako tam on dostal tie t....poradi mi niekto?

Olin · 16. 01. 2010 13:45

Mno. Tak x máš zřejmě špatně, to půjde o numerickou chybu, protože když provedeš to, co jsem navrhoval na začátku, dostaneš
$3 \cdot 3 x + 2 \cdot 2 x = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2\nl x = \frac{7}{13}$ .

K tomu t. Je patrné, že když máme soustavu pouze dvou rovnic, ale tři neznámé, tak asi nebudou všechny tři neznámé určeny jednoznačně (na to bychom potřebovali rovnice aspoň tři). Když si dosadíme za x do těch dvou rovnic zjištěnou hodnotu, dostaneme:
$\frac{21}{13} - 2y + 4z = 1\nl \frac{14}{13} + 3y - 6z = 2$
Přeházíme-li konstanty na jednu stranu, dostaneme:
$-2y + 4z = -\frac{8}{13}\nl 3y - 6z = \frac{12}{13}$
Když teď ještě vynásobíme první rovnici $-\frac 32$ , dostaneme
$3y - 6z = \frac{12}{13}\nl 3y - 6z = \frac{12}{13}$
Takže obě rovnice jsou vlastně ta samá. Řešení této jedné rovnice o dvou neznámých je nekonečně mnoho. Kdykoliv si dosadíme za z nějaké reálné číslo, umíme dopočítat y tak, aby y a z splňovala rovnici. A jak ho najdeme? Podle výše uvedené rovnice, můžeme ji totiž upravit na tvar
$y = \frac{4}{13} + 2z$ .
Řečeno formálně, pro všechna $t \in \mathbb{R}$ je dvojice $(y,\, z) = $ \frac{4}{13} + 2t,\, t$$ řešením rovnice. Když si ještě vzpomeneme na to, že kdesi na začátku jsme vypočítali ještě nějaké x, dostaneme že řešeními soustavy rovnic jsou všechny trojice ve tvaru $(x,\, y,\, z) = $ \frac{7}{13},\, \frac{4}{13} + 2t,\, t$$ , kde $t \in \mathbb{R}$ .

Pokud se orientuješ v analytické geometrii v prostoru, můžeš si to představit tak, žes měl na začátku dvě roviny (dané obecnými rovnicemi) a našel jsi jejich průnik, tj. přímku, která je dána parametrickou rovnicí.