Matematické Fórum

Tina · 07. 01. 2010 15:00

Prosím o pomoc s následujícím příkladem. U
a) potřebuji poradit postup, sice jsem se dočetla o vlastnostech ortogonální matice, či Gram-Schmidtově ortogonalizaci, ale pořád nevím, čím začít a jak postupovat
b) to snad chápu dobře jako klasický determinant, s dosazením neznámých z A, dle výsledku zjistím jestli regulární nebo singulární
c) zhruba podobný problém jako u a), nevím prostě u čeho začít, v čem je zakopaný pudl

LukasM · 07. 01. 2010 15:07 — Editoval LukasM (07. 01. 2010 15:08)

↑ Tina:
Jestli to dobře chápu, máš najít ty parametry tak, aby řádky matice (brané jako vektory z R^4) na sebe byly kolmé. Jde to udělat z hlavy. Nápověda - musí být kolmý každý na každý (kromě sebe). Mlčky předpokládám, že skalární součin je standardní, nebo že je aspoň zadaný. Už zvládneš?

b) Chápeš dobře to ověření, ale v zadání máš rozhodnout jiným způsobem.
c) Je potřeba převést matici operátoru z báze do báze. Podívej se na definici matice operátoru v bázi a popřemýšlej co do té nové matice potřebuješ.

Jinak to zadání ukazuje, že <> opravdu značíte bázi, a ne lineární obal, jak jsem se na to ráno ptal. Takže jsi to měla zapsané dobře, jak jsem to zpochybňoval.

Tina · 07. 01. 2010 15:14

↑ LukasM:

a) stále ještě není jasno
c) definici hledám, snad to zabere

LukasM · 07. 01. 2010 15:17 — Editoval LukasM (07. 01. 2010 15:17)

↑ Tina:
To že musí být kolmý každý na každý (kromě sebe) mimo jiné znamená, že každý z těch tří musí být kolmý na ten čtvrtý... Kdy jsou dva vektory kolmé?

Tina · 07. 01. 2010 15:18

↑ LukasM:

skalární součin roven nule

LukasM · 07. 01. 2010 15:20

↑ Tina:
To je pravda.. Tak zkus ještě chvíli přemýšlet nad tou první mojí větou, nechci ti to prozradit hned. Přijdeš na to sama.

Tina · 07. 01. 2010 15:41

↑ LukasM:
ze součinů spočtu alfa=-1, beta=-1, gama=1, zkouškou by mělo být zda matice inverzní k A se bude rovnat transponované A, víc ze sebe asi nevymáčknu

LukasM · 07. 01. 2010 15:41

↑ Tina:
Ty neznámé jsou dobře, tomu zbytku vůbec nerozumím - co tím chceš ukázat? Jakou zkouškou? Čeho?

Tina · 07. 01. 2010 15:42

↑ LukasM:

myslela jsem tím jako ověření, že je to správně spočteno

LukasM · 07. 01. 2010 15:46

↑ Tina:
No, tak to uvěříš tak, že spočítáš skalární součiny všech těch vektorů spolu navzájem. Všechny na sebe musí být kolmé. Pak je to správně spočteno.
To že matice inverzní se má čemusi rovnat není pravda, navíc matice inverzní nemusí vůbec existovat - jen se zeptám.. kde jsi na to přišla?

Tina · 07. 01. 2010 15:49

↑ LukasM:

Měla jsem k tomu tématu stažený text z netu, ale už nevím odkud

LukasM · 07. 01. 2010 15:54

↑ Tina:
Ona taková podobná věta totiž platí, ale jestli se nepletu (což je možné, teď si nejsem úplně jistej), musely by řádky mít normu 1. Každopádně je to kanón na vrabce, dá se to snadno ověřit tím způsobem jak jsem říkal.

Tina · 08. 01. 2010 13:45

↑ LukasM:

Holt tonoucí se stébla chytá...

b) dalo by se vyvozovat z toho, že vektory jsou lin. nezávislé a hodnost matice=4?

c) pořád se ještě neumím chytit, mezi bodama přednášky k tomuhle tématu, která byla dost stručná, byl jen odkaz na vzorec A´=P^-1*A*P (píšu to jen po paměti) ale jestli zase nejsem mimo nevím

LukasM · 08. 01. 2010 14:00 — Editoval LukasM (08. 01. 2010 14:00)

↑ Tina:
b) Ano, dalo. Jinak se teďko seřvu, když jsem včera říkal že inverzní matice nemusí existovat, nebyla to pravda. Vektory jsou ortogonální, a protože ani jeden z nich není nulový, musí být LN. Z toho už plyne hodnost matice 4, aniž by se cokoli počítalo. A navíc z toho plyne že jsem včera kecal, omlouvám se.

c) přiznám se že ten vzorec mi nic neříká, ale nevím co je A' a P. Každopádně cesta tady myslím vede jinudy. Našla sis tu definici matice lineárního zobrazení v bázích? V té matici jsou obrazy nějakých vektorů zapsané v nějaké bázi. My máme zadanou matici operátoru v kanonické (standardní) bázi - a můžeme z ní vykoukat něco co o tom operátoru víme (obrazy nějakých vektorů). Pokud máme sestavit matici v té nové bázi, co do ní budeme potřebovat (z definice)?

Tina · 08. 01. 2010 14:08

↑ LukasM:

c) já taky nevím, víc tam nebylo, ale jemně mě napadlo, že A´by mohla být matice v té nové bazi a P by se mohlo rovnat tomu M´, proto jsem to úplně nezavrhla. definici jsem hledala, ale nenašla jsem kombinaci tématu a pochopitelného. Dnes jsem fakt zdravotně mimo, tak se nechám podat, v tomhle pořád nemám jasno.

LukasM · 08. 01. 2010 14:19 — Editoval LukasM (08. 01. 2010 14:19)

↑ Tina:
Jo, už to chápu. A je matice operátoru v té původní bázi a P bude tzv. matice přechodu od té původní báze k té nové. A' je matice operátoru v nové bázi. Co je to matice přechodu si jistě někde v poznámkách najdeš, aby se ti ji podařilo sestavit - jsou v ní vektory té nové báze zapsané ve staré bázi.

Sice by bylo lepší rozumět tomu na elemenární úrovni, ale můžeš to i brát jako vzoreček který spadnul z nebe.
Hned mně to netrklo, protože já osobně bych to přes matice přechodu asi neřešil - ale to je otázka vkusu.

Tina · 13. 01. 2010 15:45

↑ LukasM:

K té matici přechodu, nevim jestli je to správně, ale u těch dvou příkladů, které mám v poznámkách bylo P rovno té druhé matici (v tomto případě by to bylo M´), P^-1 matice k ní inverzní, ale dál už to nebylo dopočítané, takže já už bych to jen pronásobila s tou maticí A dle výše zmíněného vzorce

LukasM · 13. 01. 2010 18:02 — Editoval LukasM (14. 01. 2010 10:43)

↑ Tina:
Ahoj. V zásadě máš pravdu, ale M' u nás není matice, ale báze, takže se nemůže "rovnat" matici přechodu. P je prostě matice přechodu od báze E k X. Teď jsem to spočítal oběma způsoby, takže ti je sem napíšu a nějak se s tím určitě popereš. Tu novou bázi jsem si překřtil na X.

Takže nejdřív to cos navrhovala ty - matice přechodu. Platí tady vzorec, že $^XA=(_E\mathbb{P}_X)^{-1}\cdot ^EA\cdot \phantom _E\mathbb{P}_X$ . Proč platí? Matice přechodu od báze X k E je vlastně matice identického operátoru zapsaná v bázích E,X, takže $\phantom _X\mathbb{P}_E=^\phantom ^EE^X$ - stačí se podívat na definici. Pokud k matici přechodu udělám inverzní, pak to odpovídá "přehození" těch bází, takže $\phantom _X\mathbb{P}_E=(\phantom _E\mathbb{P}_X)^{-1}$ . Ze znalosti násobení matic operátorů v bázích se pak ten vztah dá lehce dokázat.

V našem případě je matice přechodu od E k X takováto: $_E\mathbb{P}_X=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \nl 0 & 0 & 1 & -1 \nl 0 & 1 & -1 & 0 \nl 1 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ . Je doufám jasné proč (stačí se podívat na definici matice přechodu).

K ní inverzní matici jistě spočítáš. A pak stačí ty tři matice vynásobit podle toho vzorce a dostaneme $^XA=\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 & 0 \nl 2 & 0 & 0 & 2 \nl 0 & 2 & -2 & 2 \nl 0 & 2 & -2 & 0\end{pmatrix}$

Teď ten můj způsob. Máme k dispozici $^EA$ . To ale znamená, že víme tohle:
$Ae_1=(1,1,1,-1)\nlAe_2=(1,-1,1,1)\nlAe_3=(1,-1,-1,-1)\nlAe_4=(-1,-1,1,-1)$
No jo, ale protože A je lineární, tak z toho můžeme snadno spočítat obrazy X-ových vektorů. Třeba obraz $Ax_1=Ae_1+Ae_4$ atd. (protože x1=(1,0,0,1)). Dostáváme:
$Ax_1=(0,0,2,-2)\nlAx_2=(2,0,-2,0)\nlAx_3=(0,0,2,2)\nlAx_4=(0,2,0,-2)$ . Tyhle vektory teď stačí převést do báze X (což doufám umíš), a máme sloupce matice $^XA$ .

Zkoušel jsem obojí, a přijde mi, že ten druhý způsob je v tomhle případě daleko méně výpočetně náročný - kromě toho převodu čtyř vektorů z báze do báze jdou ostatní operace udělat z hlavy. U matic přechodu je potřeba udělat jednu inverzi matice 4x4, a potom dvojí násobení matic, což mi na papíře trvalo tak 3x déle (a je to taky o to náchylnější na chyby). Navíc ten postup je podle mně průhlednější, nespadl z nebe, ale je na něm vidět proč to funguje. Ale proti maticím přechodu samozřejmě nic nemám.

Dává to trochu smysl?