Matematické Fórum

leník 5 · 19. 01. 2010 14:21

Prosím, může spočítat tento příklad? Vypočtěte objem kolmého jehlanu, jehož boční hrana o délce $5 cm$ svírá se čtvercovou podstavou úhel o velikosti $60\circ$ . Výsledek v učebnici je $18,04 cm^3$ Mně vyšlo $29,5$ a nemůžu přijít na chybu. Děkuji vám.

oo · 19. 01. 2010 14:48 — Editoval oo (19. 01. 2010 16:04)

5cm je přepona pravoúhlého trojúhelníka s pravým úhlem u vrcholu S (kde S je průsečík úhlopříček čtverce). K získání strany čtverce použijeme goniometrických funkcí - v tomto případě potřebujeme vědět obsah čtverce (resp. podstavy) a tělesovou výšku $v_t$ jehlanu. platí: $\frac{u/2}{5}=\cos{60}$ ; $u/2=\cos{60}\cdot{}5=2,5$ . Úhlopříčka čtverce je tedy 5cm;

Nyní trošku odbočím - dejme tomu, že známe stranu čtverce a chceme spočítat úhlopříčku dle Pythagorovy věty:
$c=\sqrt{a^2+a^2}$
$c=\sqrt{2a^2}$ - částečne odmocníme:
$c=\sqrt{2}a$

Nyní ze "vzorce" $u=\sqrt{2}\cdot{}a$ , získáme $a=\frac{u}{\sqrt{2}}$ - nyní uděláme malý trik, nebudeme počítat stranu a, ale dosadíme ji do vzorce pro obsah - $S=a^2$ - tedy $S=\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2$ , tedy $S=25/2$ , obsah podstavy poté je $12,5cm^2$ . Výšku spočteme podobně jako úhlopříčku - $\frac{t_v}{5}=\sin{60}$ , tedy $t_v=\sin{60}\cdot{}5$ , tedy $t_v=4,33$ . Nyní jen spočteme objem jehlanu dle vzorce $V=\frac{1}{3}\cdot{}Sp\cdot{}t_v$ a vyjde nám $18,04cm^3$ .