Matematické Fórum

wojtech2 · 20. 01. 2010 18:06

Ahoj nevim si rady s tímto Integralem
$\int(x+3)5^xdx=(x+3)\frac{5^x}{ln5}-\int\frac{5^x}{ln5}dx=$

výsledek je: $\frac{(x+3)5^x}{ln5}-\frac{5^x}{ln^25}+c$ nechápu jak se to zintegruje že je z toho ln^2
mohl by mi to někdo prosím rozepsat.

Děkuji.

Stýv · 20. 01. 2010 18:26

$5^x=e^{x\ln5}$ pak už jenom lineární substituce

wojtech2 · 20. 01. 2010 19:03

Stýv napsal(a):
$5^x=e^{x\ln5}$ pak už jenom lineární substituce

$\int(x+3)5^xdx=(x+3)\frac{5^x}{ln5}-\int\frac{e^{xln5}}{ln5}dx=$

noo, tak to jsem pořád ztracen. : ( asi mi uniká nějaký vzorec.
Studuji dálkově a už je to nějaký pátek co jsem ze školy. Nemohl by jste trošku víc polopatě : )
Má se to počítat metodou per-partes.

A linearni substituce je y=Ax+B?

jelena · 20. 01. 2010 23:04 — Editoval jelena (21. 01. 2010 00:19)

↑ wojtech2:

Zdravím,

kolega ↑ Stýv: použil vztah z vlastností logaritmů - hned 1. řádek vlastností:

$\boxed{5^x}=e^{x\ln5}=e^{\ln\boxed{5^x}}$ - je to vidět?

$\ln5$ je konstanta, tak se s ni bude pracovat jako s konstantou.

$\int(x+3)5^xdx=\int(x+3)e^{x\ln5}dx=\ldots$

per partes:

$u=x+3$ , $du=dx$ ,

$v^{\prime}=e^{x\ln5}$ , $v=\frac{e^{x\ln5}}{\ln5}$ není potřeba přemyšlet o "malé substituci" $t=x\ln5$ , stačí překontrolovat, že v je správně nalezena tak, že v zderivuji, stejná malá substituce se použije při integrování této části:

$\int\frac{e^{x\ln5}}{\ln5}dx=\frac{1}{\ln5}\int\frac{e^{t}dt}{\ln5}=\frac{1}{\ln^25}\int e^{t}dt=\ldots$

použila jsem zminěnou "malou substituci" (lineární :-): $t=x\ln5$ , $dt={\ln5}dx$ , odsud $dx=\frac{dt}{\ln 5}$

Už je to vidět?