Matematické Fórum

von_Topic · 21. 01. 2010 13:29

Zdravím, mám zjistit paritu u funkce sinx+cosx=0 a zároveň dokázat jeji periodičnost.
- Paritu jsem dokazoval dosazením funkčních hodnod a následným porovnáváním zda f(x)=f(-x) respektive zda f(-x)=-f(x), ale tímto stylem to prý udajně nejde, protože tak dokážu, že funkce není sudá ani lichá pro vybranou fuknkční hodnotu a ne celou funkci.
- Dále mám problém se zjištěním směrnice asymptoty k dané funkci.
Díky všem za pomoc.

jelena · 21. 01. 2010 13:45

↑ von_Topic:

Zdravím,

sinx+cosx=0 není funkce, ale rovnice. Funkce asi byla f(x)=sinx+cosx. Paritu dokazujeme obecně pro f(x), f(-x) - ne pro konkrétní hodnoty a využíváme vlastností goniometrických funkcí: např. cos(-x)=cos(x) atd.

Periodičnost hledáme t odlišné od nuly, pro které platí f(x+t) = f(x) Opět používáme goniometrické vzorce pro součty úhlu.

Asymptoty - dle oblibeného návodu.

Stačí tak? případně se tady ozví.

von_Topic · 21. 01. 2010 14:18

↑ jelena:
ano omlouvám funkce opravdu byla sinx+cosx

ohledně parity pokud bych tedy řešil sudost zápis by vypadal takto?
f(x)= sin(x)+cos(x)
f(-x) = six(-x)+cos(-x) = cos(x)+-six(x) a tím pádem není sudá

pro lichost
f(-x) = cos(x)+-six(x)
-f(x) = -six(x) - cos(x) a tím pádem není lichá
________________________________________

jinak u té periodičnosti si pořád nevím rady. má tam vyjít perioda 2pí, ale jak to dokázat netuším
_________________________________________________________________________________

u těch asymptot když počítám směrnici, tak dosazuji lim x->nekonečnu f(x)/x = lim x->nekonečnu (sinx+cosx)/x. sinx/x by měl být neějaký speciální případ, co se rovná 0?

musixx · 21. 01. 2010 15:27

von_Topic napsal(a):
porovnáváním zda f(x)=f(-x) respektive zda f(-x)=-f(x), ale tímto stylem to prý udajně nejde, protože tak dokážu, že funkce není sudá ani lichá pro vybranou fuknkční hodnotu a ne celou funkci.

Stačí, že najdeš jedno jediné x takové, že f(x) není rovno f(-x), resp. -f(-x), abys mohl prohlásit, že funkce není sudá, resp. lichá. Možná si to pleteš s opačnou implikací. Pokud máš dokázat, že funkce je sudá (lichá), pak to musíš dokázat pro všechny hodnoty z jejího definičního oboru.

musixx · 21. 01. 2010 15:57 — Editoval musixx (21. 01. 2010 15:59)

Pokud jde o periodu funkce f(x)=sin(x)+cos(x), tak protože o funkcích sinus a cosinus předpokládám, že víš, že perioda je 2pí, tak funkce f(x) nebude mít periodu větší. Ukázat ale, že nemá menší, dá asi trochu práce a vlastně ta prvotní úvaha bude už jen důsledkem.

Já bych na to šel takto. Najděme vlastnosti čísla alfa takového, že pro všechna x je f(x)=f(x+alfa). Tedy musí být
$\sin(x)+\cos(x)=\nl\sin(x+\alpha)+\cos(x+\alpha)=\nl\sin x\cos\alpha+\cos x\sin\alpha+\cos x\cos\alpha-\sin x\sin\alpha=\nl\sin(x)\cdot\(\cos\alpha-\sin\alpha)+\cos(x)\cdot(\cos\alpha+\sin\alpha)$ .
Protože x je libovolné, tak musí být
$\cos\alpha-\sin\alpha=1$ a současně
$\cos\alpha+\sin\alpha=1$ ,
tedy musí platit i třeba součet těchto rovností, tedy $2=2\cos\alpha$ , odkud $\alpha=2k\pi$ , tedy $\alpha$ samo je celočíselným násobkem dvou pí.

Kondr · 21. 01. 2010 16:09

Taky pomůže $sin(x)+cos(x)=\sqrt{2}sin(x+\pi/4)$ -- pak vidíme, jak bude vypadat graf.

von_Topic · 21. 01. 2010 16:27

↑ musixx:
Já to původně dokazoval tak, že pokud vycházím z toho, že f(x)=f(x+kp) s tím, že k je celé číslo a p>0. Za p jsem pak dosazoval pí a za k 0,1,2 a porovnával výsledné funkční hodnoty pro f(x+pí) resp. f(x+2pí) a f(x). Tento postup mi ovšem nebyl uznán. Zkusím tedy tu tvou radu. Ovšem není mi jasné, proč se součet cos(a)-sin(s)=1 + cos(a)+sin(a)=1 rovná 2=2cos(a). Samotné sečtení je mi jasné, ale ne to proč tomu tak je.

Kondr · 21. 01. 2010 16:40

↑ von_Topic:Stačí do $\sin(x)+\cos(x)=\nl\sin(x+\alpha)+\cos(x+\alpha)=\nl\sin x\cos\alpha+\cos x\sin\alpha+\cos x\cos\alpha-\sin x\sin\alpha=\nl\sin(x)\cdot\(\cos\alpha-\sin\alpha)+\cos(x)\cdot(\cos\alpha+\sin\alpha)$
dosadit za x nejdříve 0 a pak $\pi/2$ .

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2010 13:29

sinx + cosx = 0; parita a periodičnost

#2 21. 01. 2010 13:45

Re: sinx + cosx = 0; parita a periodičnost

#3 21. 01. 2010 14:18

Re: sinx + cosx = 0; parita a periodičnost

#4 21. 01. 2010 15:27

Re: sinx + cosx = 0; parita a periodičnost

von_Topic napsal(a):

#5 21. 01. 2010 15:57 — Editoval musixx (21. 01. 2010 15:59)

Re: sinx + cosx = 0; parita a periodičnost

#6 21. 01. 2010 16:09

Re: sinx + cosx = 0; parita a periodičnost

#7 21. 01. 2010 16:27

Re: sinx + cosx = 0; parita a periodičnost

#8 21. 01. 2010 16:40

Re: sinx + cosx = 0; parita a periodičnost

Zápatí