Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Jsou dány vektory a = (odmocnina 2)/(2) (1,0,1) ; b = (0,1,0) ; c = (odmocnina 2)/(2) (-3,0,3)
Určete velikost těchto vektorů a úhly, které spou svírají. Rozhodněte, zda tvoří ortogonální či ortonormální bázi prostoru E3 (nad E je šipka čili je to vektor a 3 je dolní index, stejně tak písmenka a, b, c jsou vektory se šipkou.)
Prosím o pomoc.
Offline
E3 je euklidovsky prostor dimenze 3 (tedy prave ten, ve kterem zijeme my). Uhel mezi dvema vektory se urci pomoci standardniho skalarniho soucinu, delka vektoru je takzvana stadardni norma. Ja znacim skalarni soucin vektoru x, y takto: <x|y>.
Norma (velikost) vektoru se vypocte takto sqr(<x|x>) tedy jako odmocnina za skalarniho soucinu vektoru sam se sebou. Normu vektoru x budu znacit |x|.
Ted uz je to jednoduche. Pro uhel "a" mezi dvema vektory mame vstah
cos a = <x|y>/(|x|*|y|)
Takze nejdrive vypocteme velikosti vsech vektoru a pak uz snadno spoctme i uhly mezi nimi.
Tvori-li nejake vektory bazi prostoru tak v prve rade musi byt linearne nezavisle (prepokladam, ze vis, jak neco takoveho overit).
Je-li baze ortogonalni, pak uhel mezi kazdymi dvema vektory je pravy.
Jeli baze ortonormalni, je ortogonalni a navic vsechny vektory maji velikost 1.
Offline
Dobre, vezmneme prvni vektor a. Chceme jeho velikost (normu). Spocteme tedy nejdriv skalarni soucin <a|a>. To je
(sqr(2)/2, 0, sqr(2)/2)*(sqr(2)/2, 0, sqr(2)/2) = 1/2 + 0 + 1/2 = 1
Norma (jak jsem uz prve psal) je odmocnina z <a|a>. Tedy velikost vektoru a je 1, zapsano formalne |a| = 1.
To same provedu pro vektory b a c, zjistim, ze plati <b|b> = 1 tedy |b| = 1, <c|c> = 1/9 tedy |c| = 1/3
Tak, nyni pojdme na uhly. Zkusme uhel mezi a, b. Uhel budu znacit u.
cos u = <a|b>/(|a|*|b|) = ((sqr(2)/2, 0, sqr(2)/2)*(0,1,0))/(1*1) = 0
Jaky musi byt uhel u, aby jeho cosinus byl 0? Odpoved: 90° nebo 270°. Vezmeme ten mensi, protoze tak je definovan uhel mezi dvema vektory. Cii vektory a, b sviraji pravy uhel.
Zkusme jeste to same pro vektory a, c
cos u = <a|c>/(|a|*|c|) = ((sqr(2)/2, 0, sqr(2)/2)*(-sqr(2)/6, 0, sqr(2)/6))/(1*1/3) = -2/12 + 0 + 2/12 = 0
A jeste pro b, c
cos u = <b|c>/(|b|*|c|) = ((0, 1, 0)*(-sqr(2)/6, 0, sqr(2)/6))/(1*1/3) = 0
Vidime tedy, ze kazde dva vektory sviraji pravy uhel, tvori tedy ortogonalni bazi E3. Nemaji ale vsechny velikost jedna, takze netvori ortonormalni bazi.
Offline
Pardon, ja jsem si blbe precetl ten vektor c. On vypada takto:
(-3*sqr(2)/2, 0, 3*sqr(2)/2)
Takze kdyz budu delat skalarni soucin tak mi vyjde (-3*sqr(2)/2)*(-3*sqr(2)/2) + 3*sqr(2)/2 * 3*sqr(2)/2 = 9*2/4 + 9*2/4 =
= 36/4 = 9.
Takze velikost vektoru c je 3
Offline
Stránky: 1