Matematické Fórum

vaanha · 21. 01. 2010 17:52

Zdravím. Mám problém s počítáním matice, která nemá řešení metodou nejmenších čtverců.

Vycházeje z definice $A^T*Ax = A^T*b$ roznásobím matice tak, jak má být. V mém případě má A rozměr 6x4 tudíž na levé straně rovnice dostávám matici 4x4. V tento moment ovšem nevím jak dál postupovat. Zda-li všechna čísla na řádku, který patří k $x_1$ sečíst nebo celý řádek vynásobit $x_1$ samotnou. V prvním případě mi vychází krásné celočíselné řešení, v druhém případě se dostávám do řešení s parametrem. Která volba je ta správná? Rovnice jsou zadány ve tvaru.

$x_1+x_2=-3\nl x_1+x_2=-1\nl x_1+x_3=0\nl x_1+x_3=2\nl x_1+x_4=5\nl x_1+x_4=1$

lukaszh · 21. 01. 2010 19:01

↑ vaanha:

Trošku som nepochopil, aké ponúkaš varianty riešenia. Ale možno to bude deficitom češtiny z mojej strany. Matica je
$A=\begin{bmatrix}1&1&0&0\nl1&1&0&0\nl1&0&1&0\nl1&0&1&0\nl1&0&0&1\nl1&0&0&1\end{bmatrix}$

Vypočítame
$A^TA=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\nl1&1&0&0&0&0\nl0&0&1&1&0&0\nl0&0&0&0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&0&0\nl1&1&0&0\nl1&0&1&0\nl1&0&1&0\nl1&0&0&1\nl1&0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&2&2&2\nl2&2&0&0\nl2&0&2&0\nl2&0&0&2\end{bmatrix}\nlA^Tb=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\nl1&1&0&0&0&0\nl0&0&1&1&0&0\nl0&0&0&0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\nl-1\nl0\nl2\nl5\nl1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\nl-4\nl2\nl6\end{bmatrix}$

A vyriešime
$\begin{bmatrix}6&2&2&2\nl2&2&0&0\nl2&0&2&0\nl2&0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\overline{x}_1\nl\overline{x}_2\nl\overline{x}_3\nl\overline{x}_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\nl-4\nl2\nl6\end{bmatrix}$

MATLAB dáva riešenie
$\overline{x}=\begin{bmatrix}0&-2&0&2\end{bmatrix}^T$

Kondr · 21. 01. 2010 19:02

Je snadné ukázat, že součet štverců musí být alespoň 6, rovnost nastane pro $x_2=-2-x_1, x_3=1-x_1, x_4=3-x_1, x_1\in \mathbb{R}$ .

EDIT: koukám, že Lukaszh našel jedno konkrétní řešení. Myslím ale, že všechna řešení vyjádřená parametrem jsou akceptovatelná.

vaanha · 21. 01. 2010 21:18 — Editoval vaanha (21. 01. 2010 21:19)

Chápu-li to dobře, tak potom stačí vyřešit rozšířenou matici systému s levou stranou $A^T A$ a pravou stranou $A^T b$ s tím, že potom ji vynuluji pod diagonálou, zbyde mi řádek nul. Za $x_4$ dosadím parametr a pak už jen získávám kořeny $x_3, x_2, x_1$ ?

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2010 17:52

Metoda nejmenších čtverců.

#2 21. 01. 2010 19:01

Re: Metoda nejmenších čtverců.

#3 21. 01. 2010 19:02

Re: Metoda nejmenších čtverců.

#4 21. 01. 2010 21:18 — Editoval vaanha (21. 01. 2010 21:19)

Re: Metoda nejmenších čtverců.

Zápatí