Matematické Fórum

Colombo · 22. 01. 2010 14:52

ahoj kdo by mi poradil?
1. Rozhodnout zda pro x e R jsou funkce lineárně závislé
y1=x^2+2, y2=3*x^2-x, y3=x+1
2. Obecné řešení rovnice
x*y*dy=(1-x^2)*dx
po uprave (x^2-1)*dx+x*y*dy=0
(vyšla mi nerovnost parciálních derivací df/dy=0, dg/dx=y.... =) rce není exaktní ...integrační faktor mi vyšel 1/x) ...
počítal jsem správně?
po vynásobení integračním faktorem, nová rovnice (x-1/x)*dx+y*dy=0
derivace df/dy=0, dg/dx=0.... =) rce je exaktní
dálší řešení jako exkaktní dif. rovnice
obecné řešení: F(x,y)= (x^2)/2 - ln x + (y^2)/2

Rumburak

Ad 1. Polynomy x^2 , x , 1 označme po řadě u, v , w , takže

y1 = 1*u + 0*v + 2*w ,

y2 = 3*u + (-1)*v + 0*w ,

y3 = 0*u + 1*v + 1*w .

Veklory u, v , w jsou lin. nezávislé a matice

|| 1 0 2 ||
|| 3 -1 0 ||
|| 0 1 1 ||

je regulární, proto vektory (polynomy) y1, y2, y3 jsou rovněž lin. nezávislé.

Ad 2. Asi jsi chtěl říci, že rovnicí F(x,y) = C , kde C je integrační konstanta, je v implicitním tvaru dáno řešení y(x) dané DR.
Funkce F je nalezena správně.

Avšak není zde nutno postupovat hledáním tzv. prvého itegrálu dané rovnice (včetně ověřování exaktnosti a hledáním integračního faktoru),
vystačíme s jednodušší metodou separací proměnných:

x*y*dy=(1-x^2)*dx vydělíme funkcí x a máme y*dy = (x^(-1) - x)*dx atd.

Výsledný výpočet je v podstatě shodný, ale je okolo toho méně "teoretického humbuku", smím-li se takto vyjádřit.

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2010 14:52

diferenciální rovnice

#2 22. 01. 2010 16:18 — Editoval Rumburak (22. 01. 2010 16:42)

Re: diferenciální rovnice

Zápatí