Matematické Fórum

evissska · 23. 01. 2010 19:40

Ahoj, zrovna se učím důkazy na analýzu a narazila jsem na problém v Heineho větě (převedení limity posloponosti na limitu funkce). Mohl by mi prosím někdo poradit, proč se žadný z členů posloupnosti nesmí rovnat limitě této posloupnosti? Proč by se ta věta pak nedala použít? Moc děkuju.

halogan · 23. 01. 2010 19:50

Protože v limitě funkce $\lim_{x \to c} f(x)$ nás zajímá redukované (prstencové) okolí bodu c, ta funkce v c nemusí být ani definovaná.

Olin · 23. 01. 2010 19:56

Protože, zjednodušeně řečeno, funkční hodnota v daném bodě nemusí mít s limitou funkce v onom bodě nic společného. Vezměme např. jednoduchou funkci
$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{pro } x = 0\nl 0 & \text{jinak} \end{cases}$ .
Potom např. posloupnost $\{\frac 1n\}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k nule a posloupnost $\{f$\frac 1n$\}_{n \in \mathbb{N}}$ rovněž (jde o posloupnost samých nul), ovšem vezmeme-li např. posloupnost samých nul, tak ta jistě konverguje k nule, ovšem $\{f(0)}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k jedničce, protože je to posloupnost samých jedniček. Ovšem zřejmě $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ .

Kolega to hezky shrnul.

Ještě bych možná doplnil, že podmínku věty lze zeslabit na to, že se zabýváme všemi posloupnostmi, které se své limitě vyhýbají až od určitého členu dál.

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2010 19:40

podmínka v Heineho větě

#2 23. 01. 2010 19:50

Re: podmínka v Heineho větě

#3 23. 01. 2010 19:56

Re: podmínka v Heineho větě

Zápatí