Matematické Fórum

Ahoj, mam priklad (separovatelna diferencialni rovnice 1. radu) mam ho ve skriptech vyresenej, ale nektere kroky mi nejsou jasne....


Pr: Reste diferencialni rovnici :   x' = (x^2 - 1) / 2*t

s ruznymi poctecnimi podinkami:


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A) x(0) = 2       pro t=0 neni funkce definovana => v bode 0 nelze zadat pocatecni podminku

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B) x(1) = 1   

jedna se o diferencialni rovnici1. radu, kterou lze prepsat ve tvaru: x' = g(t) h(x) , v tomto pripade g(t)= 1/t , h(x) = (x^2 - 1) / 2

-najdu si stacionalni reseni : nulove body funkce (x^2 - 1)/2 jsou +1 , -1

dostaneme 4 maximalni stacionalni reseni:                                                                                                  //jak??

x(t) = 1    pro t lezi (-oo, 0)                       x(t) = 1     pro t lezi (0 , oo)
x(t) = -1   pro t lezi (-oo, 0)                       x(t) = -1    pro t lezi (0 , oo)


=> maximalni reseni x(t) = 1    pro t lezi (0 , oo)                                                                        //proc je maximalni reseni zrovna toto??

zadne stacionalni reseni neni reseni pro pocatecni podminku                                                                          //proc??
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C) x (1) = 0

pouziji metodu separace promennych :


   dx/dt = (x^2 - 1) / 2*t

integral {2 / (x^2 - 1)} dx = integral { (dt/t) dt}                                                                            //kde se tady vzalo 2 x dt   ?  ?

   ln |(x-1)/(x+1)| = ln|t| + c

dosazenim pocatecni podminky (t,x) = (1,0) dostaneme 0 = 0 + c => c = 0.
Po odlogaritmovai a rozepsani absolutnich hodnot -
uvazujeme (t, x) lezi (0, oo) x (-1, 1)  =>                                                                                     

(1-x) / (x + 1) = t     ...... po uprave    x = (1-t)/ (1+t)


snadno overime, ze definicni obor reseni je cely interval (0, oo).                                                 //jak?

=> reseni  x(t) = (1-t)/(1+t)              t lezi (0, oo)                                                                      //proc od t lezi (0, oo)



Predem diky za rady :-)