Matematické Fórum

mara_cz · 25. 01. 2010 21:13

Máme bod P (0,10) a parabolu x2 -8

Mám najít bod na parabole který je nejblíže bodu P a změřit tuto vzdálenost. Jak to udělám ?:)

Olin · 25. 01. 2010 21:18

Všechny body na dané parabole mají tvar $[x,\, x^2-8]$ . Vzdálenost takovýchto bodů od bodu P je
$\sqrt{(x-0)^2 + (x^2-8-10)^2}$ .
Nyní hledáme takové x, aby tato vzdálenost byla nejmenší. Můžeme buď:
1) derivovat
2) uvědomit si, že odmocnina je monotónní (tj. vzdálenost je nejmenší, když je její druhá mocnina nejmenší) a derivovat jen výraz pod odmocninou
3) výraz pod odmocninou doplnit na čtverec.

halogan · 25. 01. 2010 21:24

4) Spolu s 3) a 2) zavést substituci $a = x^2$ , což ale na výpočtu nic moc nemění. Jen ti to pomůže lépe si uvědomit, kde se pohybuješ.

Třeba u 1) nevím, kam bys došel. Dostaneš totiž kubickou rovnici. (ale co já vím, zas tolik jsem to nepočítal)

Olin · 25. 01. 2010 21:46

↑ halogan:
Právěže tady je poměrně zábavnou skutečností, že 1) vede k témuž jako 2) (odmocnina zaleze do jmenovatele a zajímat nás bude opět jen derivace vnitřku). Vznikne sice kubická rovnice, ale velmi jednoduchá, bez absolutního a kvadratického členu. Jinak samozřejmě máš pravdu, že substituce situaci ještě více zjednoduší, po derivování vnitřku dostaneme lineární výraz.

halogan · 25. 01. 2010 21:52

↑ Olin:

Jo, já si nevšiml, že ve dvojce derivuješ. Já dělal "průběh" vnitřku odmocniny. A taky už jsem fakt blbej, že koukám na bikvadratickou funkci a neuvědomuju si, že její derivace bude velice příjemná na hledání kořenů.

Já teda u svého řešení ani jednou nederivoval.

Chjo už. Nechám tě to dodělat raději.

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2010 21:13

Nejkratší vzdálenost bodu na parabole od bodu P

#2 25. 01. 2010 21:18

Re: Nejkratší vzdálenost bodu na parabole od bodu P

#3 25. 01. 2010 21:24

Re: Nejkratší vzdálenost bodu na parabole od bodu P

#4 25. 01. 2010 21:46

Re: Nejkratší vzdálenost bodu na parabole od bodu P

#5 25. 01. 2010 21:52

Re: Nejkratší vzdálenost bodu na parabole od bodu P

Zápatí