Matematické Fórum

M!R@Cle · 14. 02. 2008 16:05

Prosim nemohli byste mi vysvětlit aritmetickou posloupnost druheho radu....moc prosim...ale ne nejak odborne abych to pochopil dik :)

Kondr · 14. 02. 2008 16:17

Aritmetická posloupnost druhého řádu je taková poslounost, kde
$a_n=kn^2+ln+m$ ,
kde k,l,m jsou reálná čísla.

Má pár zajímavých vlastností, hlavně tuto: je-li
$b_n=a_{n+1}-a_n$ ,
pak b_n je aritmetická posloupnost prvního řádu.

M!R@Cle · 14. 02. 2008 16:45

muzes mi to prosim dat do nejake ulohy??? prosim......

Marian · 14. 02. 2008 17:11

Zkus treba tento material.

M!R@Cle · 15. 02. 2008 19:40

tak moc dik:)
Prosim o jinou............

Kondr · 15. 02. 2008 19:45 — Editoval Kondr (15. 02. 2008 19:49)

Co třeba tohle?
Uvažme aritmetickou posloupnost 2.ř. splňující:
$a_{11}=42\nl a_{12}=67\nl a_{13}=88$

1) Určete její prvky $a_1$ až $a_{10}$ .
2) Najděte vzorec pro obecný prvek
3) Najděte vzorec pro součet prvních t prvků (první prvek=a1)

M!R@Cle · 15. 02. 2008 20:12

a jak to mam vypocitat????

M!R@Cle · 15. 02. 2008 21:54

ja potrebuju ulohu a na té mi vysvětlit aritmetickou posloupnost druheho radu....pls

jelena · 16. 02. 2008 00:00 — Editoval jelena (16. 02. 2008 00:26)

↑ M!R@Cle:

- tak jsem se podivala na materialy, co jsem umistili kolegove. Pokud si vezmes zadani od kolegy Kondra a nalistujes od stranky 4 v materialu od Mariana, tak verim, ze urcite neco zvladnes - je to tam presne krok po kroku rozepsano - ja bych to ted jen opakovala.

Pokud nepujde, tak se ozvi tady a rekni, kde je problem. Urcite bude vyresen - asi az zitra :-)

Editace:
cituji Hechtuv zakon "neni prihodnejsi chvile kdy odlozit to, do ceho se nam nechce, nez prave ted", cimz srdecne dekuji kolegovi Kondrovi za vyreseni celeho problemu :-)

Kondr · 16. 02. 2008 00:18

Myslel jsem ze zadani staci, ale vlatne mas pravdu... ze zadani se tezko da pochopit, jak se maji takove ulohy resit :)
takze k te me uloze:
1) rozdily mezi po sobe jdoucimi prvky tvori aritmetickou posloupnost
Napiseme si prvnich 13 prvku nasi posloupnosti a nad ne rozdily mezi prvky(? mizsto tech, ktere nezname)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 25 21
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 42 67 88
Vidíme, že ta aritmetická posloupnost rozdílů má diferenci 21-25=-4, můžeme ji proto doplnit:
65 61 57 53 49 45 41 37 33 29 25 21
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 42 67 88
A teď můžeme doplnit (od 10. k 1.) i členy té aritmetické posloupnosti druhého řádu tak, aby ta posloupnost rozdílů odpovídala:
65 61 57 53 49 45 41 37 33 29 25 21
-427 -362 -301 -244 -191 -143 -98 -57 -20 13 42 67 88
Dokázal bys najít hodnotu $a_15$

2)obecný vzorec je tvaru $a_i=ki^2+li+m$
Řešíme tedy soustavu
$42=a_{11}=k\cdot 121+l\cdot11+m$
$67=a_{12}=k\cdot 144+l\cdot12+m$
$88=a_{13}=k\cdot 169+l\cdot13+m$
Máme soustavu tří rovnic o třech neznámých... dokázal bys z ní určit k,l a m?
(měly by vyjít zlomky, nejspíš ne "pěkné")

3)Na toto existuje celá řada metod, pan Zhouf (autor odkazovaného dokumentu) by ti jich ukázal asi sedmnáct, Marian tu na fóru rád používá osmnáctou (dotvořující funkce). Na střední škole by se asi dala použít metoda neurčitých koeficientů.

Teorie:
Všimneme si, že diferencování (nahrazování $a_i$ za $a_{i+1}-a_i$ ) snižuje řád posloupnosti o 1. Postupné sčítání (nahrazování $a_i$ za $a_1+a_2+...+a_{i-1}+a_i$ ) naopak řád posloupnosti o 1 zvyšuje. Stejně jako jsme posloupnost druhuhého řádu byli schopni dopočítat ze 3 členů, posloupnost 3. řádu dopočítáme ze 4.

První čtyři postupné součty jsou -427,-427-362=-789,-427-362-301=-1090,-427-362-301-244=-1334. Ar. posloupnost třetího řádu je dána vztahem
$b_i=ki^3+li^2+mi+n$
Řešíme proto soustavu
$-427=b_1=k+l+m+n$
$-789=k\cdot 8+l\cdot 4+m\cdot 2+n$
$-1090=k\cdot 27+l\cdot 9+m\cdot 3+n$
$-1334=k\cdot 64+l\cdot 16+m\cdot 4+n$
A zase řešíme soustavu...

Dost jsem si naběhl s volbou těch čísel, takže mám úkol pro tebe: zkus to celé (steným způsobem, jako jsem naznačil zde) vyřešit, když tam místo 42,67 a 88 bude 103, 124, 147.