Matematické Fórum

Ilona · 25. 01. 2010 23:56

Tak jsem tady s dalším příkladem.
Týká se obsahu a objemu obdelníku, jež je vepsán do trpjúhelníku.
Zadání je: Trojúhelníku ABC, bod A(-1,-6), B(5,-4),C(-2,3) vepiště obdelník tak, aby jedna jeho strana ležela ve straně AB. Délku této strany označte x. Určete, jak závisí obsah a obvod obdelníku na délce strany x, tj. funkce S(x), D(x), definiční obory a nakreslete grafy těchto funkcí. To samé proveďte pro inverzní funkce x(S), x(D). Zjistěte, který obdelník má maximální obsah a který maximální obvod.
Některé části příkladu dokážu vypočítat, ale na některé vůbec nevím, jak na to. Nevím, jak zohlednit to, že obdelník může mít pouze určitou délku stran, které budou kolmé na x (aby byl vepsaný).
Prosím, vypočítali byste mi někdo tento příklad?
Děkuji Ilona

Kondr · 26. 01. 2010 01:15

Obdélník dělí trojúhelník na čtyři části, z nichž jedna je podobná s celým trojúhelníkem. Označíme-li $v_c$ výšku na stranu $c$ a $y$ výšku obdélníka, je koeficient zmíněné podobnosti roven $(v_c-y):v_c$ . Délka obdélníka $x$ je proto rovna $x=c\cdot\frac{v_c-y}{v_c}$ . Zbývá vyjádřit $y$ pomocí $x$ a dopočítat obvod a obsah dle známých vzorců. Obvod se s x mění lineárně, proto je maximum buď $2v_c$ nebo $2c$ , podle toho, co je větší. Maximalizovat obsah lze doplněním na čtverec (funkce, nikoliv obdélníka ;o))

zdenek1

↑ Ilona:
U obrázku je špatně bod $B$ , ale obrázek je stejně jen pro ilustraci.

Jak psal Kondr, trojúhelníky $ABC$ a $MNC$ jsou podobné.
Proto $\frac{v_c-y}{v_c}=\frac{x}{|AB|}\ \Rightarrow\ y=\frac{v_c(|AB|-x)}{|AB|}$
$|AB|=\sqrt{(-1-5)^2+(-6+4)^2}=2\sqrt{10}$
$v_c$ určíme jako vzdálenost bodu $C$ od přímky $AB$
Přímka $AB:x-3y-17=0$
$v_c=\frac{|1\cdot(-2)-3\cdot3-17|}{\sqrt{10}}=\frac{14\sqrt{10}}5$
Pak $y=\frac{v_c(|AB|-x)}{|AB|}=\frac{\frac{14\sqrt{10}}5(2\sqrt{10}-x)}{2\sqrt{10}}=\frac75(2\sqrt{10}-x)$

Obsah: $S(x)=xy=x\frac75(2\sqrt{10}-x)=\frac{14\sqrt{10}}5x-\frac75x^2$ Definiční obor bude $D_f=(0;2\sqrt{10})$ Interval je otevřený, protože pro krajní body se nejedná o obdélník, ale o úsečky.
Toto je kvadratická funkce s koeficientem u kvadratického členu $<0$ , proto má maximum. Toto maximum ve vrcholu paraboly. x-ová souřadnice vrcholu paraboly $y=ax^2+bx+c$ je $x_v=-\frac b{2a}$
V našem případě $x_v=\frac{-\frac{14\sqrt{10}}5}{-2\cdot\frac75}=\sqrt{10}$ . Obdélník bude mít maximální obsah, když délka jeho strany $x$ bude rovna polovině $|AB|$ .

Obvod: $O(x)=2(x+y)$ . Jak už psal Kondr, toto je lineární funkce, a protože definiční obor je otevřený interval, minimum ani maximum neexistuje.