Matematické Fórum

leník 5

Prosím, poradíte? $sinx+cosx=1+sin2x$ začala jsem $sinx+cosx=2sinxcosx+1$ , $sinx+cosx-2sinxcosx=1$ víc nevím a možná i toto je špatně, děkuji vám.

halogan · 26. 01. 2010 22:17

A jak si s tím začala? Nějak nevím, jak jsi se k tomu dostala.

Doxxik · 26. 01. 2010 22:18

nejprve poznámka k tvému mezivýsledku -> nyní (nekontroloval jsem zatím dosavadní správnost) stačí vyjít z faktu, že součin činitelů je roven nule <=> je alespoň jeden z nich roven nule
-> rozdělíme si $sinx(1+2cosx)=0$ na dva případy:
a) $sinx = 0$ -> dopočítáš
b) $1 + 2cosx = 0$ -> dopočítáš
Celkovým výsledkem bude řešení a) sjednoceno s řešením b).

leník 5 · 26. 01. 2010 22:19

↑ halogan: To jsem popletla, omylem jsem to opsala z druhého příkladu, opravím to.

Doxxik · 26. 01. 2010 22:21 — Editoval Doxxik (26. 01. 2010 22:23)

a teď k postupu:
vyšel bych z toho, že když si rozložíme pravou stranu rovnice (konkrétně $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ ), tak získáš součtový vzorec $(A+B)^2$ -> získáváš tedy:
$sinx + cosx = (sinx + cosx)^2\nl 0 = (sinx + cosx) \cdot (sinx + cosx - 1)$
a nyní rozdělíme na dva případy (obdobně viz výše):
a) $sinx + cosx = 0$ -> dopočítáš
b) $sinx + cosx -1 = 0$ -> dopočítáš

Ivana · 26. 01. 2010 22:24

↑ Doxxik: Ale i tak to nevychází moc dobře :-(

halogan · 26. 01. 2010 22:30

↑ Ivana:

Mně to vychází celkem pěkně :-)

sin x = cos x je snad jasné.

---

$\sin x + \cos x - 1 = 0 \nl \sin x = 1 - \cos x$ - tady komentuji, že sinus musí být nezáporný (pravá strana bude vždy nezáporná)

$\sin^2 x = 1 - 2 \cos x + \cos^2 x \nl 0 = 2 \cos^2 x - 2 \cos x$

A to už je dál snadné.

Chrpa · 26. 01. 2010 22:31

↑ leník 5:
$\sin x+\cos x=1+\sin 2x\nl\sin x+\cos x=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x\nl\sin x+\cos x=(\sin x+\cos x)^2\nl(\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x-1)=0$
1)
$\sin x+\cos x=0\nl\rm{tg} x=-1$
2)
$\sin x+\cos x=1\nl\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1\nl\sin 2x=0$
To už dopočítáš.

halogan · 26. 01. 2010 22:33

↑ Chrpa:

Tys ale nemilosrdně umocnil. Teď nám v řešení přebývají zmetky. (třeba pí)

Chrpa · 26. 01. 2010 22:42

↑ halogan:
A co Ti brání v tom abys udělal zkoušku a to pí z řešení vyloučil.

halogan · 26. 01. 2010 22:43

↑ Chrpa:

1) Že ji nenavrhuješ.
2) Je jednodušší se zkoušce vyhnout. Zvlášť u periodických funkcí jsou navíc celkem neoblíbené (sám se přiznám, že ani nevím přesně, jak bych postupoval)

Chrpa · 26. 01. 2010 22:49 — Editoval Chrpa (26. 01. 2010 22:53)

↑ halogan:
Navíc já zkoušku dělat nemusím, protože použiji substituci $2x=t$ a pak:
$\sin t=0\nlt=k\pi\nlx=\frac{k\pi}{2}$
Moje řešení je :
$x_1=\frac{3\pi}{4}+k\pi\nlx_2=\frac{k\pi}{2}$

zdenek1 · 26. 01. 2010 23:30

↑ Chrpa:
$\sin x+\cos x=1$
$\frac{\sqrt2}2\sin x+\frac{\sqrt2}2\cos x=\frac{\sqrt2}2$
$\sin x\cos\frac\pi4+\cos x\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2$
$\sin(x+\frac\pi4)=\frac{\sqrt2}2$
$x_1+\frac\pi4=\frac\pi4+2k\pi$ , $x_1=2k\pi$
$x_2+\frac\pi4=\frac{3\pi}4+2k\pi$ $x_2=\frac\pi2+2k\pi$

A zkoušku skutečně dělat nemusíš.

Pavel Brožek · 26. 01. 2010 23:37

↑ Chrpa:

Pro k=2 (a spoustu dalších) dostáváš $x_2$ , které není řešením.

Cheop · 27. 01. 2010 06:49

↑ BrozekP:
Ano máte všichni pravdu nechal jsem se unést
"svým" řešením.

musixx · 27. 01. 2010 08:22 — Editoval musixx (27. 01. 2010 08:25)

Řešení tohoto typu rovnic od ↑ zdenek1: (ukazuje to zde už alespoň podruhé), kde se sčítá sinus a cosinus, je hodně elegantní. V obecnější podobě jsem něco už hodně dávno nabízel tady.

leník 5 · 27. 01. 2010 09:53

Prosím, můžete mně poradit, jak se přišlo na $0=(sinx+cosx)(sinx+cosx-1)$ ?

halogan · 27. 01. 2010 10:06

Vytklo se $\sin x + \cos x$ .

leník 5 · 27. 01. 2010 10:10

↑ halogan: děkuji mockrát, to jsem si říkala, že se budu potom divit, proč jsem na to nepřišla.

Cheop · 27. 01. 2010 10:25

↑ zdenek1:
Hezké řešení.
Jsem zas o něco "chytřejší".

leník 5

Prosím, ještě nerozumím dalšímu: $sinx+cosx=0$ jak z toho vzniklo $tgx=-1$ a $sinx+cosx=1$ $sin^2x+cos^2x+2sinxcosx=0$ $sin2x=0$ , prosím...

zdenek1 · 27. 01. 2010 11:48

↑ leník 5:
$\sin x +\cos x=0$
$\sin x=-\cos x$ vydělit $\cos x$ (můžeš $\cos x = 0$ není řešení)
$\tan x =-1$

$\sin x+\cos x=1$ umocnit na druhou
$(\sin x+\cos x)^2=1$
$\sin^2x+2\sin x\cos x + \cos^2x=1$
protože
$\sin ^2x+\cos^2x=1$
dostane
$2\sin x\cos x =0$
a to je vzoreček.

Takhle to ale nepočítej, umocnění není ekvivalentní úprava a přiděláváš si problémy.

Cheop · 27. 01. 2010 12:01

↑ leník 5:
$\sin x+\cos x=0$ vydělíme $\cos x$ a dostaneme:
$\sin x+\cos x=0\nl\frac{\sin x}{\cos x}+1=0\nl\rm{tg} x=-1$

leník 5 · 27. 01. 2010 13:11

↑ zdenek1: Děkuji za závěrečné řešení s $\pi$ , které jsem nepochopila /svou vinou/ a děkuji i všem ostatním zúčastněným, kteří se snažili mně pomoci.

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2010 21:55 — Editoval leník 5 (26. 01. 2010 22:22)

goniometrická rovnice

#2 26. 01. 2010 22:17

Re: goniometrická rovnice

#3 26. 01. 2010 22:18

Re: goniometrická rovnice

#4 26. 01. 2010 22:19

Re: goniometrická rovnice

#5 26. 01. 2010 22:21 — Editoval Doxxik (26. 01. 2010 22:23)

Re: goniometrická rovnice

#6 26. 01. 2010 22:24

Re: goniometrická rovnice

#7 26. 01. 2010 22:30

Re: goniometrická rovnice

#8 26. 01. 2010 22:31

Re: goniometrická rovnice

#9 26. 01. 2010 22:33

Re: goniometrická rovnice

#10 26. 01. 2010 22:42

Re: goniometrická rovnice

#11 26. 01. 2010 22:43

Re: goniometrická rovnice

#12 26. 01. 2010 22:49 — Editoval Chrpa (26. 01. 2010 22:53)

Re: goniometrická rovnice

#13 26. 01. 2010 23:30

Re: goniometrická rovnice

#14 26. 01. 2010 23:37

Re: goniometrická rovnice

#15 27. 01. 2010 06:49

Re: goniometrická rovnice

#16 27. 01. 2010 08:22 — Editoval musixx (27. 01. 2010 08:25)

Re: goniometrická rovnice

#17 27. 01. 2010 09:53

Re: goniometrická rovnice

#18 27. 01. 2010 10:06

Re: goniometrická rovnice

#19 27. 01. 2010 10:10

Re: goniometrická rovnice

#20 27. 01. 2010 10:25

Re: goniometrická rovnice

#21 27. 01. 2010 10:38 — Editoval leník 5 (27. 01. 2010 10:41)

Re: goniometrická rovnice

#22 27. 01. 2010 11:48

Re: goniometrická rovnice

#23 27. 01. 2010 12:01

Re: goniometrická rovnice

#24 27. 01. 2010 13:11

Re: goniometrická rovnice

Zápatí