Matematické Fórum

leník 5

Prosím o pomoc: V trojúhelníku $ABC$ znáte velikosti úhlů $\alpha=45^\circ \beta=60^\circ \gamma=75^\circ$ . Vypočtěte, v jakém poměru jsou délky stran. Použila bych sinovou větu, ale když neznám žádnou stranu, tak vůbec nevím, jak na to. Děkuji vám.

zdenek1 · 27. 01. 2010 16:46

↑ leník 5:
Nepotřebuješ žádné strany, počítáš poměr
$\frac a{\sin45^o}=\frac b{\sin60^o}\ \Rightarrow\ \frac ab=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt2}{2\sqrt3}$
$\frac b{\sin60^o}=\frac c{\sin75^o}$
$\sin75^o=\sin(45^o+30^o)=\sin45^o\cos30^o+\cos45^o\sin30^o=\frac{\sqrt2}2\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$
$\frac bc=\frac{2\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}$

$a:b:c=2\sqrt2:2\sqrt3:(\sqrt6+\sqrt2)$