Matematické Fórum

FigeraldKenedy · 29. 01. 2010 15:05

Nazdar,
mám problém s tímto příkladem.

Na množině $M= {r e R |r > 3}$ definujeme operaci $o$ vztahem $xoy=xy-3y-3y+12$ pro $x,y e M$ . Dokažte, že $o$ je skutečně operace na množině $M$ (tj. $x,y e M => xoy e M$ (místo epsilon je e )

Mám rozhoudnout zda je operací, komutativní operace, asociativní operace, ex. neutrální prvek, grupa

--kom: podle mě operace je komutativní. Teda pokud abych si dokázal komutativnost jen přehodím $xoy$ za $yox$ tzn $xy-3x-3y+12=xy-3y-3x+12$ a pak za x,y si dosadím hodnoty a ověřím ??

--Neutrální prvek je e=4??

--Associativní je

--Grupa není.Sice je monoid ale nemá inverzi

Snad bude apson něco dobře. Ale zjištění jestli je to operace to nevím jak zjistit. A asi jsem to měl udělat jako první ne? kdyby to nebyla operace tak by tak ten zbytek by neplatil ne? Pokud mám něco špatně tak je to problém implementace na danný příklad. Definice jednotlivých znám a shodují se s těmi které nám říkali na přednášce i se scripty. Děkuji

musixx · 29. 01. 2010 15:35 — Editoval musixx (29. 01. 2010 16:24)

$M=\{r\in{\mathbb R}\ |\ r > 3\}$ , $x\circ y=xy-3x-3y+12$ pro $x,y \in M$

Uzavřená operace znamená, že výsledek $x\circ y$ opět padne do M, pokud argumenty byly z M. Pro tento účel označme $x=3+x_0$ , $y=3+y_0$ , kde pokud $x,y\in M$ , pak $x_0>0,\ y_0>0$ . No ale pak $x\circ y=(3+x_0)(3+y_0)-3(3+x_0)-3(3+y_0)+12=x_0y_0+3>3$ , tedy $x\circ y\in M$ .

Protože je to operace, jde alespoň o grupoid a má smysl vůbec začít zjišťovat vlastnosti této struktury, to máš pravdu.

Komutativní je, protože násobení a sčítání (odčítání) v reálných číslech je komutativní, tedy $xy=yx$ a $-3x-3y=-3y-3x$ .

Víme, že operace je komutativní, tedy neutrální prvek stačí hledat z jedné strany a je jím skutečně číslo 4.

Asociativní také je, to máš také dobře (stačí rozepsat).

Je-li y inverze k x, pak $x\circ y=4$ , tedy po rozepsání $y=\frac{3x-8}{x-3}$ . No a pro $x>3$ mi vychází také $\frac{3x-8}{x-3}>3$ , což je hledaná inverze k prvku x.

EDIT: $x\cdot\frac{3x-8}{x-3}-3x-3\cdot\frac{3x-8}{x-3}+12=x\left(\frac{3x-8}{x-3}-3\right)-3\left(\frac{3x-8}{x-3}-3\right)+3=\left(\frac{3x-8}{x-3}-3\right)(x-3)+3=3x-8-3(x-3)+3=4$ .

$(M,\circ)$ je komutativní grupa.

FigeraldKenedy

Tak aspon že něco mám dobře :-P

--associativita: $(x o y) o z = (xy-3x-3y+12) o z=xyz-3x-3y-3z+12$ to jsem řešil po cestě dom bez tušky a toto mě napadlo :-D a napsal jsem a pokud to tak nemá vyjít tak mám krásnou fantazii na vásledky:-D

--NP:-> když operace není komutativní tak musím hledat kolik prvků? tady v té variantě by to byli jinak 2 ne? za (x,y) záleží na počtu prvcích ne? takže dkyž budu mít $(a,b,c,d)o (e,f,g,h)$ kdyby nebyla kom. tak NP bude např (1,2,3,4)??

--inverze -> abych ji mohl řešit, tak si musím prvně vypočítat NP?

Asi neexistuje nějaké vyhodnocování že?

Protože si chci propočítat co nejvíc příkladů a výsledky k tomu nemám a dávat to sem mi přijde jako dobrá blbost už jen z toho důvodu že zbytečně zahltím foru a taky čas než moje operace vypíšu.

musixx · 01. 02. 2010 07:35 — Editoval musixx (01. 02. 2010 07:43)

↑ FigeraldKenedy: Takže k tvým dotazům:

1. Když operace není komutativní, tak se typicky hledá neutrální prvek z jedné strany (třeba najdeme všechna taková $e$ , že $\forall x:\ x\circ e=x$ ), ale pak je ještě třeba zjistit, pro která z nich je také $\forall x:\ e\circ x=x$ . Ta $e$ , která tohle splňují, jsou pak neutrální prvky.

2. Pokud neutrální prvek existuje, tak je jedinečný.

3. Existuje i pojem "zleva neutrální prvek" a "zprava neutrální prvek". Má to valný smysl jen v nekomutativních strukturách.

4. Ano, abys mohl hledat inverze, potřebuješ napřed najít neutrální prvek. Opět v nekomutativních strukturách se dají hledat i inverze zleva a zprava.

5. Tím vyhodnocováním nevím, co myslíš. Standardní postup při zjišťování, o jakou strukturu jde, je postupovat podle nabalujících se vlastností:

1. grupoid -- testovat pouze uzavřenost operace
2. pologrupa -- přidat asociativitu
3. monoid -- přidat neutrální prvek
4. grupa -- přidat inverze
5. další speciální vlastnosti -- třeba komutativita

Docela výhodné bývá zjistit komutativitu už u pologrupy -- když struktura je komutativní, tak levý (pravý) neutrální prvek (pokud vůbec existuje) je automaticky jediný neutrální prvek, a podobně s inverzí. Když naopak struktura není komutativní, tak může existovat jediný neutrální prvek, ale nemusí. Pokud neexistuje, tak i přesto může existovat levý nebo pravý neutrální prvek. Pokud existují oba, pak už jsou stejné a jde o jediný neutrální prvek. A podobně s inverzí.

Napsal jsem tady toho hodně, snad jsem tě tím nepopletl... Kdyžtak se klidně ptej.

EDIT: Pokud by sis chtěl najít nějaké příklady struktur, které mají třeba jen levý neutrální prvek atd., tak doporučuju popisovat operaci tabulkou. Pak jde jen o to, že neutrální prvek se projevuje tak, že v příslušném sloupci i řádku je přesně opsané záhlaví, resp. toto záhlaví je jen v sloupci, resp. jen v řádku.

EDIT2: I důkazy těch tvrzení, které jsem tady psal, jsou snadno představitelné, pokud si operaci představíš definovanou pomocí tabulky a pokud si uvědomíš, jak se v takové tabulce projevuje vlastnost prvku být neutrální, resp. být inverzí k jinému prvku.

FigeraldKenedy · 01. 02. 2010 08:58

↑ musixx: díky a nedopletl :-P uplně nahoře mám tu associativitu mám ju dobře nebo špatně? snad už jinak to je všechno :-) dneska písemka tak se uvidí :-D jinak díky

musixx · 01. 02. 2010 10:11

↑ FigeraldKenedy: To bohužel dobře není. Takto to má být - je to jen pracné, nikoli náročné..
$(a\circ b)\circ c=(ab-3a-3b+12)\circ c=(ab-3a-3b+12)c-3(ab-3a-3b+12)-3c+12=abc-3ac-3bc-3ab+9c+9a+9b-24$
a
$a\circ(b\circ c)=a\circ(bc-3b-3c+12)=a(bc-3b-3c+12)-3a-3(bc-3b-3c+12)+12=abc-3ab-3ac-3bc+9a+9b+9c-24$
jsou stejné, proto je operace asociativní.

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2010 15:05

Množiny - komutativní operace, grupa?

#2 29. 01. 2010 15:35 — Editoval musixx (29. 01. 2010 16:24)

Re: Množiny - komutativní operace, grupa?

#3 29. 01. 2010 18:09 — Editoval FigeraldKenedy (29. 01. 2010 18:11)

Re: Množiny - komutativní operace, grupa?

#4 01. 02. 2010 07:35 — Editoval musixx (01. 02. 2010 07:43)

Re: Množiny - komutativní operace, grupa?

#5 01. 02. 2010 08:58

Re: Množiny - komutativní operace, grupa?

#6 01. 02. 2010 10:11

Re: Množiny - komutativní operace, grupa?

Zápatí