Matematické Fórum

kuti · 29. 01. 2010 21:12

Mám tuto úlohu:

Vypočítejte objem tělesa daného rovnicí: x+z+2z-6=0

Poraďte prosím, jak s tím naložit, bude v tom dvojný integrál, pokud se nemýlím, ale moje znalosti v této oblasti jsou mizivé.

Předem díky!!!

Olin · 29. 01. 2010 21:30

A určitě je v tom dvakrát z? A nejsou tam náhodou i nějaké druhé mocniny?

kuti · 29. 01. 2010 21:33

↑ Olin:

Ten výraz je zadaný tak, jak byl v originále, skutečně jsou tam 2z a žádné mocniny. Tuším průšvih...

Olin · 29. 01. 2010 21:42

No mě nejde o to, že je tam 2z, ale že je tam z + 2z. To by přece každý zapsal jako 3z, pokud by neměl nějaké závažné důvody zapsat to jinak.

Vzhledem k tomu, že se chce objem tělesa, předpokládám, že se pohybujeme v třírozměrném prostoru. V tom ovšem rovnice $x+3z-6 = 0$ nereprezentuje žádné těleso, ale rovinu.

kaja(z_hajovny) · 29. 01. 2010 21:51

kdyby to bylo x+y+2z-6=0 tak by se taky jednalo o rovinu a ne o teleso. Mozna je tam jeste ohraniceni prvnim oktantem?

kuti · 29. 01. 2010 21:52

↑ Olin:

Omluva, velká omluva!!!

Byl to překlep a já si toho nevšiml. Správná verze je: x + y + 2z - 6 = 0

Teď je to správně.

Olin · 29. 01. 2010 21:54

↑ kuti:
Stále ovšem platí to, co napsal kolega ↑ kaja(z_hajovny): - nejde o těleso, ale o rovinu.

kuti · 29. 01. 2010 22:08

↑ Olin:

A bylo by něco platné, kdyby zadání bylo:

Vypočítejte objem tělesa ohraničeného plochami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + 2z - 6 = 0?

To není originální zadání, ale je možné, že to tak bylo myšleno. Asi jste zvyklí na fundovanější dotazy, já jsem ale v matematice nula na nultou a proto zde hledám pomoc. Díky za trpělivost.

Olin · 29. 01. 2010 22:14

↑ kuti:
Pozor, nula na nultou se bere buď jako nedefinovaný výraz, nebo se definuje jako jedna :-)

Myslím, že pak je to zadání zcela v pořádku. Výsledek by šel spočíst všeljakými integrály, ale postačil by i vzoreček pro objem jehlanu.

kuti · 29. 01. 2010 22:20

↑ Olin:

A pokud je požadavek na užití integrálu při výpočtu, tak jak se má prosím postupovat?

Olin · 29. 01. 2010 23:14

$\int_0^6 \, \int_0^{6-x} \, \int_0^{3 - \frac x2 - \frac y2} \mathrm{d}z \mathrm{d}y \mathrm{d}x$

Může být?

kuti · 30. 01. 2010 07:32

↑ Olin:
Kdybych řekl, že to stačí, vypadalo by to, že tomu rozumím. Tak tomu není. Jak se zjistí horní meze těchto integrálů? A šlo by použít místo trojného dvojný integrál? Předem děkuji.

Olin · 30. 01. 2010 11:04

No nevím, jestli já jsem zrovna ta správná osoba, která by toto měla vysvětlovat. Vícerozměrné integrály si tak nějak intuitivně pamatuji ze skript, která jsem si přečetl kdysi na střední. Každopádně: nějak tam používám Fubiniovu větu pro trojrozměrný integrál. Úvaha je následující:
1) x může nabývat pouze hodnot od 0 do 6 (šestky nabývá pro y = z = 0)
2) y pak může nabývat pouze hodnot od 0 do 6 - x (což nabývá pro z = 0)
3) z pak může nabývat uš jen hodnot od 0 do $3-\frac x2 - \frac y2$ (to už je přímo vyjádřeno z té rovnice roviny).
Objem se standardně vypočte tak, že se integruje jednička přes celé těleso.

Pokud bychom chtěli dvojný integrál, potom to můžeme pojmout tak, že vyjádříme např. z jako funkci x a y:
$z(x, y) = 3-\frac x2 - \frac y2$ .
Tuto funkci pak zintegrujeme přes trojúhelník v rovině xy (neboli z = 0), který tam vytínají příslušné roviny. Je to ten samý integrál, který dostaneme, když provedeme ve výpočtu výše uvedeného trojného první krok, tj. vypočteme ten nejvnitřnější integrál.

kuti · 30. 01. 2010 12:13

↑ Olin:

Už je mi to bližší, díky.

Moje vděčnost nezná horních ani dolních mezí, narozdíl od funkce Sin(x)...

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2010 21:12

Objem integrováním

#2 29. 01. 2010 21:30

Re: Objem integrováním

#3 29. 01. 2010 21:33

Re: Objem integrováním

#4 29. 01. 2010 21:42

Re: Objem integrováním

#5 29. 01. 2010 21:51

Re: Objem integrováním

#6 29. 01. 2010 21:52

Re: Objem integrováním

#7 29. 01. 2010 21:54

Re: Objem integrováním

#8 29. 01. 2010 22:08

Re: Objem integrováním

#9 29. 01. 2010 22:14

Re: Objem integrováním

#10 29. 01. 2010 22:20

Re: Objem integrováním

#11 29. 01. 2010 23:14

Re: Objem integrováním

#12 30. 01. 2010 07:32

Re: Objem integrováním

#13 30. 01. 2010 11:04

Re: Objem integrováním

#14 30. 01. 2010 12:13

Re: Objem integrováním

Zápatí