Matematické Fórum

M.Hunt · 30. 01. 2010 02:12

Zdravím, chtěl bych vás požádat o pomoc s řešením vázaných extrémů
$f(x,y,z) = x + y - 2z$
vazby $x^2 + y^2 = 1$ $x^2 + z^2 = 1$

Podobně jako u jednodušších variant jsem zkoušel použít Lagrangeovy multiplikátory,
ale nedaří se mi spočítat hodnotu multiplikátorů po dosazení proměnných, vyjádřených z derivací Lagrangeovy funkce,
zpět do vazebních rovnic. Předem díky za reakce

kaja(z_hajovny)

Zkuste sem tedy dat ten vypocet, at muzeme patrat a pidit se po chybe. Dekuji.

M.Hunt · 30. 01. 2010 12:37

$L(x,y,z)=x+y-2z+\lambda_1(x^2+y^2-1)+\lambda_2(x^2+z^2-1)$
$\frac{\partial L}{\partial x}=1+2\lambda_1x+2\lambda_2x=0$ $x=\frac{-1}{2\lambda_1+2\lambda_2}$
$\frac{\partial L}{\partial y}=1+2\lambda_1y=0$ $y=\frac{-1}{2\lambda_1}$
$\frac{\partial L}{\partial z}=-2+2\lambda_2z=0$ $z=\frac{1}{\lambda_2}$
Po dosazení do vazeb
$(\frac{-1}{2\lambda_1+2\lambda_2})^2+(\frac{-1}{2\lambda_1})^2-1=0$
$(\frac{-1}{2\lambda_1+2\lambda_2})^2+(\frac{1}{\lambda_2})^2-1=0$
Bohužel si nevím rady jak bych měl z této soustavy 2 rovnic vyjádřit hodnoty λ

plisna · 30. 01. 2010 13:15 — Editoval plisna (30. 01. 2010 13:39)

↑ M.Hunt: z rovnic $$\frac{-1}{2\lambda_1+2\lambda_2}$^2+$\frac{-1}{2\lambda_1}$^2-1=0$ a $$\frac{-1}{2\lambda_1+2\lambda_2}$^2+$\frac{1}{\lambda_2}$^2-1=0$ snadno nahledneme, ze musi platit $$ \frac{-1}{2 \lambda_1} $^2 = $ \frac{1}{\lambda_2} $^2$ , tedy $\lambda_2 = \pm 2 \lambda_1$ a po substituci do rovnice $$\frac{-1}{2\lambda_1+2\lambda_2}$^2+$\frac{-1}{2\lambda_1}$^2-1=0$ dostavame rovnice pro $\lambda_1$ a $\lambda_2$ pak jiz snadno dopocteme.

edit: pridano reseni:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

M.Hunt · 30. 01. 2010 15:39

Děkuji za ověření a nasměrování správnou cestou, úlohu jsem původně zkoušel řešit podobným způsobem,
ale hodnoty byly v rozporu s výsledky uvedenými u zadání.

Bohužel teprve teď jsem si ověřil, že v zadání uváděné "správné" řešení nesplňuje ani vazební podmínky.

Matematické Fórum

#1 30. 01. 2010 02:12

Vázané extrémy funkce 3 proměnných

#2 30. 01. 2010 11:32 — Editoval kaja(z_hajovny) (30. 01. 2010 11:33)

Re: Vázané extrémy funkce 3 proměnných

#3 30. 01. 2010 12:37

Re: Vázané extrémy funkce 3 proměnných

#4 30. 01. 2010 13:15 — Editoval plisna (30. 01. 2010 13:39)

Re: Vázané extrémy funkce 3 proměnných

#5 30. 01. 2010 15:39

Re: Vázané extrémy funkce 3 proměnných

Zápatí