Matematické Fórum

kerami · 30. 01. 2010 14:11

Zdravím, potřeboval bych poradit, prosím: Napište osovou rovnici hyperboly, která prochází body $A[5;3]B[8;-10]$ . Použít vzorec $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , ale asi ne. Díky.

Olin · 30. 01. 2010 14:18

Uvedené údaje nestačí k jednoznačnému určení hyperboly. Nejsou v zadání další informace, jako např. osy jsou rovnoběžné s osami soustavy souřadnic (to je skoro samozřejmost u těchto úloh), střed hyperboly leží v počátku nebo tak?

kerami · 30. 01. 2010 15:20

↑ Olin: Právě, že je tam jen tohle. Je to z učebnice Sbírka úloh z matematiky 2. část - pro SOŠ od Jiráska. Napíšu další, který nevím a ten už asi půjde, /jen mně nejde: Napište osovou rovnici hyberboly, která má s elipsou společná ohniska a velikost vedlejší poloosy: $4x^2+9y^2=144$ je tam uvedený výsledek: $4x^2-y^2=16$ U té první rovnice je výsledek: $7x^2-3y^2=148$ díky

jarrro · 30. 01. 2010 16:20 — Editoval jarrro (30. 01. 2010 16:40)

↑ kerami:ak predpokladáme,že tá hyperbola je v tvare $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ tak môžeš dosadiť za "x" a "y" body a počítať sústavu v našom prípade je $\frac{25}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1\nl\frac{64}{a^2}-\frac{100}{b^2}=1$ teraz treba vyriešiť tú sústavu
napr. z nej vyplýva $\frac{2500-100a^2}{a^2}=\frac{9\left(64-a^2\right)}{a^2}\nl2500-100a^2=576-9a^2\nl91a^2=1924\nla^2=\frac{148}{7}\nl\frac{9}{b^2}=\frac{175-148}{148}=\frac{27}{148}\nlb^2=\frac{148}{3}$ po dosadení a vynásobení 148 to vyjde ako uvádzaš
čo sa týka druhej úlohy tak ako u elipsy tak aj u hyperboly je "a" dĺžka hlavnej polosy a "b" dĺžka vedľajšej polosy majú spoločné ohniská aj dĺžku vedľajšej polosy teda b^2 je rovnaké aj u hyperboly teda 16 ohniská elipsy sú $[e,0]$ kde $e^2=a^2-b^2$ ohniská hyperboly zase $[e;0]$ kde
$e^2=a^2+b^2$ ečka sú zo zadania rovnaké teda pre $a^2$ z hľadanej hyperboly musí platiť $20=a^2+16\nla^2=4$ rovnica hľadanej hyperboly je teda $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1\nl4x^2-y^2=16$