Matematické Fórum

Ilona · 24. 01. 2010 20:07

Zdravím všechny.
Potřebuju nakopnout v příkladě, kdy mám zadány vrcholu trojúhelníku A(-1,-6), B(5,-4), C(-2,3) a mám vypočítat střed kružnice vepsané a souřadnice těžiště a ortocentra. Vím, jak to narýsovat, mám vypočtený poloměr, veškerá další data jako délky stran, úhly, kružnici opsanou, délky těžnic, ale se souřadnicemi si nějak nevím rady. Prosím o radu.
Ilona

Kondr · 24. 01. 2010 22:15 — Editoval Kondr (25. 01. 2010 01:09)

Asi bych střed kružnice EDIT:vepsané počítal jako průsečík os úhlu. Osa úhlu gama prochází bodem C a její směrový vektor je $\frac1{|CA|}\vec{CA}+\frac1{|CB|}\vec{CB}$ , analogicky ostatní osy.

Souřadnice těžiště jsou nejjesnodušší: [EDIT 2] T=(A+B+C)/3 .

Ortocentrum napočítat jako průsečík výšek: výška na stranu a prochází bodem A, její směrový vektor je normálovým vektorem přímky BC.

zdenek1

↑ Kondr:
Jseš si jistej tím středem kružnice opsané? Já si vždy myslel, že jsou to osy stran.

Chrpa · 24. 01. 2010 22:53

↑ zdenek1:
V původním zadání máme počítat souřadnice středu kružnice vepsané proto Kondr hledá osy úhlů.

Kondr · 24. 01. 2010 23:13

↑ zdenek1: Díky, myslel jsem vepsanou, opraveno. Jinak střed opsané by bylo nejlepší počítat pomocí Eulerovy přímky, když už jednou máme ortocentrum i těžiště.

jelena · 24. 01. 2010 23:17

troufale bych netvrdila, že máme těžiště ↑ Kondr: (u Bartsche je jinak). Pozdrav :-)

Kondr · 25. 01. 2010 01:12

↑ jelena: Díky, spraveno.

Ivana · 25. 01. 2010 15:26 — Editoval Ivana (25. 01. 2010 21:08)

↑ Ilona: Tak je to opravené :

Tady je řešení pro výpočet souřadnic průsečíku výšek (ortocentrum) . Průsečík jsem označila $V$ : (kontrolovala jsem to i graficky , vychází to )

Ivana · 25. 01. 2010 17:19 — Editoval Ivana (26. 01. 2010 05:57)

↑ Ilona:

Těžiště jsem řešila takto :

1. výpočet středu $C_1(2;-5)$ protilehlé strany AB
2. směrový vektor $s(CC_1)=(4;-8)$
3. parametrické vyjádření přímky $t_c$ ... vyšla rovnice ... $2x+y+1=0$

4. totéž pro $t_b$ ... vyšla rovnice $x+2,6y+5,4=0$
5. řešením této soustavy rovnic vyšly souřadnice pro těžiště $T$ .... $t_x=\frac{2}{3}$ a $t_y=-2\frac{1}{3}=\frac{-7}{3}$

Tak aby to bylo celé , tady je jednoduché řešení pro výpočet souřadnic těžiště :

Ilona · 25. 01. 2010 19:54

Děkuji Vám velmi moc za pomoc. Možná budu mít ještě jeden příkládek z trochu jiného tématu, se kterým si nevím úplně tak rady. Díky díky.

jelena · 25. 01. 2010 19:59

↑ Ivana:

Zdravím, Ivano,

mám trochu dotazů:

a) k sestavení obecných rovnic výšek - když máme vypočten směrový vektor pro úsečku BC, tento vektor bude bez žádné změny normálový pro rovnici výšky na stranu BC v obecném tvaru. Stejně pro další výšku.

b) asi jen překlep: vektor (3, 1) a vektor (-3, -1) jsou pouze opačného směru (nejsou si kolmé), pro obecnou rovnici výšky postačí vektor (3, 1).

Je to tak?

c) jen doporučení - pro výpočet těžiště je nejpohodlnější použití vzorce T=(A+B+C)/3 (no mohla bych troufnout tvrdit něco jiného, když to napsal osobně vážený Moderátor :-) y- souřadnice těžiště mi vychází -7/3.

Děkuji :-)
----
OT: četla jsem komentář k ledovce, co je u vás - u nas také (v pondělí se přesouvám Opavou dvounásob - ale je moc pěkně :-)

Ivana · 25. 01. 2010 20:40 — Editoval Ivana (25. 01. 2010 21:10)

↑ jelena: Zdravím :-) , tady bylo dneska taky nádherně , bohužel jsem nemocná ještě celý tento týden .
Co se týká oprav , děkuji za upozornění , anlytickou geometrii studuji jako samouk. Na střední škole jsme ji měli jen z rychlíku , tak se snažím sama a na vysoké mě minula.
Jsem ráda , že jsem se dopočítala ke stejným souřadnicím u těžiště.
Hezký večer do Opavy :-)

Tak už jsem to opravila a děkuji ještě jednou :-)

jelena · 26. 01. 2010 00:46

↑ Ivana:

Děkuji, Ivano, za pozdrav a za opravy a přeji brzké uzdravení.

ledovku Veronika Dolina vystihla přesně: tak jsem teď také došla a proto "Осторожно..." :-)

Ivana · 26. 01. 2010 08:49

Kondr napsal(a):
Asi bych střed kružnice EDIT:vepsané počítal jako průsečík os úhlu. Osa úhlu gama prochází bodem C a její směrový vektor je $\frac1{|CA|}\vec{CA}+\frac1{|CB|}\vec{CB}$ , analogicky ostatní osy.

Dobrý den na foru :-)

Začala jsem řešit souřadnice středu $S$ kružnice trojúhelníku ABC vepsané ...
zatím jsem se podle návodu dostala sem : ... dál nevím , co s tím :-(

Za odpovědi děkuji :-)

jelena · 26. 01. 2010 09:30

↑ Ivana:
Zdravím, Ivano :-)
tvoříme směrový vektor pro přímku "osa úhlu", tuto přímku pak sestavíme v parametrickém tvaru. Směrový věktor:

$\frac1{|CA|}\vec{CA}+\frac1{|CB|}\vec{CB}$ říká, že každou složku vektoru $\vec{CA}$ vynásobíme číslem $\frac1{|CA|}$ , stejnou operaci provedeme i pro vektor CB, pak výsledky sečteme jako součet vektoru po složkách.

Stačí tak?

Jelikož kolegyňka piše, že má vypočtený poloměr vepsané kružnice (zřejmě přes obsah, obvod trojuhelníku), tak bych raděj hledála prusečík přímek rovnoběžných s příslušnou stranou a vzdálených od stran o poloměr (ale Vážený Moderátor povídal "přes osu" - tak neodporuji :-)

Ivana · 26. 01. 2010 16:28 — Editoval Ivana (26. 01. 2010 17:01)

↑ jelena: Jeleno , děkuji , pustím se do toho a ozvu se :-)
Nějako mi to nevychází s nákresem , tak jdu od toho, leda by se ke mně někdo chtěl přidat.

směrový vektor pro osu úhlu gama mi vyšel ( 0,8 ; 1,7 )

směrový vektor pro osu úhlu alfa mi vyšel ( 0,6 ; 0,9 )

Cheop · 29. 01. 2010 11:38 — Editoval Cheop (29. 01. 2010 12:48)

↑ Ivana:
Vychází mi toto:
$S_v(0,8991;\,-3,0317)\nlT\left(\frac 23;\,-\frac 73\right)\nlO\left(\frac 12;\,-\frac 92\right)\nlS_o\left(\frac 34;\,-\frac 54\right)\nlr\dot=5.062114\nl\rho\dot=2.215239$
Rovnice kružnice vepsané
$x^2+y^2-1.7982x+6.0634y+0.9494=0$
Rovnice kružnice opsané
$2x^2+2y^2-3x+5y-47=0$
Viz obrázek:

Ivana · 29. 01. 2010 14:22

↑ Cheop: Zdravím :-)

Tak abych napsala k čemu jsem došla , obrázek mám tentýž , jen rýsovaný klasicky. Poloměr kružnice vepsané $\rho=2,2$ .. vyšlo stejně , ale nedopočítala jsem se k souřadnicím středu kružnice vepsané , hledala na webech .. nenašla , po dlouhém počítání jsem to nakonec ke své velké lítosti vzdala. :-(

Mohla bych to poslat , ale vzhledem ke špatnému výsledku to nemá cenu. :-(

Ten poloměr kružnice vepsané jsem počítala jako vzdálenost bodu L (0,5 ;0) , který leží na přímce pomocné (rovnoběžné s přímkou CA ) od právě té přímky , nebo raději úsečky , CA . Ta vzdálenost je právě ten poloměr kružnice vepsané .

Cheop · 29. 01. 2010 14:30 — Editoval Cheop (29. 01. 2010 14:40)

↑ Ivana:
Střed kružnice vepsané jsem počítal takto:

1) Určil jsem nejdříve směrové vektory dvou přímek dle výpočtu Kondra.
2) Určil rovnice těchto přímek (jedna bude procházet bodem A, druhá bodem C) nebo body A a B nebo B a C to podle toho co zvolíš pro výpočet.
3) Střed kružnice je průsečík těch dvou přímek jako řešení dvou rovnic o dvou neznámých.

Mě vyšel směrový vektor osy úhlu gama (0,8175; -1,701)
a směrový vektor osy úhlu alfa (0,8383; 1,31011)

Ivana · 29. 01. 2010 14:51

↑ Cheop: Dobrá , tak já se do toho tedy pustím :-)

Ten směrový vektor úhlu gama mám stejný s tebou , ten druhý mám jinak .

Určitě dám vědět.

Hezký prázdninový den :-)

Ivana · 29. 01. 2010 16:08

↑ Cheop: Přes různé peripetie jsem se dopočetla ke směrovým vektorům os úhlů , trochu jsem tam balancovala se znaménky ..

Ivana · 29. 01. 2010 17:40

↑ Cheop: Nemůžu se dopočítat k těm souřadnicím středu kružnice vepsané :-(

Neměla by se ta čísla směrového úhlu otočit , nebo vyměnit znaménka ? Přeci k ose úhla gama patří souřadnice bodu C , nebo snad ne ?
Co dělám špatně ?

Děkuji za odpovědˇ :-)

Chrpa · 30. 01. 2010 15:01 — Editoval Chrpa (30. 01. 2010 15:03)

↑ Ivana:
Rovnice osy úhlu gama bude procházet bodem C a bude mít rovnici:
$1,701x+0,8175y+c=0$ po dosazení souřadnic bodu C vypočteme c tedy:
$1,701\cdot (-2)+0,8175\cdot 3+c=0\nlc=0,9495$
Rovnice bude:
$1,701x+0,8175y+0,9495=0$
Rovnice osy úhlu alfa bude mít rovnici:
$1,31011x-0,8383y+c=0$ a bude procházet bodem A tedy: c bude:
$1,31011\cdot(-1)-0,8383\cdot(-6)+c=0\nlc=-3,71969$
Rovnice osy bude:
$1,31011x+0,8383y-3,71969=0$
Střed kružnice vepsané bude průsečíkem těch dvou rovnic.

PS Ze směrového vektoru přímky uděláš normálový vektor prohozením souřadnic a u jednoho z nich změníš znaménko.

Ivana · 30. 01. 2010 18:07 — Editoval Ivana (30. 01. 2010 18:31)

↑ Chrpa: Děkuji :-)

Tak abych si byla opravdu jistá , je to takhle správné ... např :

Děkuji za kontrolu :-)

No a tady je moje správné řešení - výpočet souřadnic středu kružnice vepsané :

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Chrpa · 30. 01. 2010 18:13 — Editoval Chrpa (30. 01. 2010 18:17)

↑ Ivana:
Ano

Rovnice té přímky bude:
2x + 3y + c = 0 a pak pokud znáš souřadnice bodu, kterým přímka prochází
dosadíš x-ovou , rep. y-ovou siuřadinici bodu a dopočítáš c.

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2010 20:07

Kružnice vepsaná

#2 24. 01. 2010 22:15 — Editoval Kondr (25. 01. 2010 01:09)

Re: Kružnice vepsaná

#3 24. 01. 2010 22:47 — Editoval zdenek1 (24. 01. 2010 22:48)

Re: Kružnice vepsaná

#4 24. 01. 2010 22:53

Re: Kružnice vepsaná

#5 24. 01. 2010 23:13

Re: Kružnice vepsaná

#6 24. 01. 2010 23:17

Re: Kružnice vepsaná

#7 25. 01. 2010 01:12

Re: Kružnice vepsaná

#8 25. 01. 2010 15:26 — Editoval Ivana (25. 01. 2010 21:08)

Re: Kružnice vepsaná

#9 25. 01. 2010 17:19 — Editoval Ivana (26. 01. 2010 05:57)

Re: Kružnice vepsaná

#10 25. 01. 2010 19:54

Re: Kružnice vepsaná

#11 25. 01. 2010 19:59

Re: Kružnice vepsaná

#12 25. 01. 2010 20:40 — Editoval Ivana (25. 01. 2010 21:10)

Re: Kružnice vepsaná

#13 26. 01. 2010 00:46

Re: Kružnice vepsaná

#14 26. 01. 2010 08:49

Re: Kružnice vepsaná

Kondr napsal(a):

#15 26. 01. 2010 09:30

Re: Kružnice vepsaná

#16 26. 01. 2010 16:28 — Editoval Ivana (26. 01. 2010 17:01)

Re: Kružnice vepsaná

#17 29. 01. 2010 11:38 — Editoval Cheop (29. 01. 2010 12:48)

Re: Kružnice vepsaná

#18 29. 01. 2010 14:22

Re: Kružnice vepsaná

#19 29. 01. 2010 14:30 — Editoval Cheop (29. 01. 2010 14:40)

Re: Kružnice vepsaná

#20 29. 01. 2010 14:51

Re: Kružnice vepsaná

#21 29. 01. 2010 16:08

Re: Kružnice vepsaná

#22 29. 01. 2010 17:40

Re: Kružnice vepsaná

#23 30. 01. 2010 15:01 — Editoval Chrpa (30. 01. 2010 15:03)

Re: Kružnice vepsaná

#24 30. 01. 2010 18:07 — Editoval Ivana (30. 01. 2010 18:31)

Re: Kružnice vepsaná

#25 30. 01. 2010 18:13 — Editoval Chrpa (30. 01. 2010 18:17)

Re: Kružnice vepsaná

Zápatí