Matematické Fórum

Matice · 30. 01. 2010 19:43

Dobrý večer, nemohl by mi někdo poradit nějaký důkaz věty: Nechť je funkce spojitá na uzavřeném intervalu, pak je na tomto intervalu omezená? V literatuře se mi povedlo najít pouze důkaz, který využívá toho, že taková funkce nabývá na tomto intervalu maxima a minima, ale potřebovala bych nějaký, který toto nevyužívá. Děkuji moc

Pavel Brožek

Nevím, jestli tenhle důkaz není moc složitý:

Vezmeme každý bod $x$ z uzavřeného intervalu $I$ a najdeme jeho otevřené okolí $\mathcal{U}(x)$ takové, že funkční hodnoty na tomto okolí se liší od $f(x)$ nejvýše o $\varepsilon$ . Všechna tato okolí zřejmě tvoří pokrytí intervalu otevřenými množinami, tedy $I\subseteq\bigcup_{x\in I}\mathcal{U}(x)$ . Interval $I$ je uzavřený a omezený, tedy kompaktní, můžeme proto z pokrytí vybrat konečné podpokrytí $I\subseteq\bigcup_{i=1}^n\mathcal{U}(x_i)$ . Pak je už jasné, že $f(I)\subseteq\bigcup_{i=1}^nf$\mathcal{U}(x_i)$\subseteq\bigcup_{i=1}^n$f(x_i)-\varepsilon,\,f(x_i)+\varepsilon$$ , kde poslední sjednocení je zřejmě omezená množina díky tomu, že n je konečné číslo.