Matematické Fórum

Analogická úloha řešena zde.

Jde o to, že když se podíváme na všechny dělitele nějakého čísla, které není druhou mocninou celého čísla, můžeme dělitele rozdělit do dvojic, jako třeba takhle u dělitelů 12:

.

Oproti tomu u druhých mocnin to nejde, jelikož odmocnina se "spáruje" sama se sebou. 36:

.

Ne. U čtyřky je to takto: jednička celu otevře, dvojka zavře, čtyřka otevře.

Protože se čtvrtá cela otevřela, když se otáčel klíč v každé "první" cele, pak se zavřela, když se klíč otáčel v každé druhé a nakonec se otevřela, když se otáčelo klíčem v každé čtvrté cele. Každý dělitel čísla odpovídá jednomu otočení klíčem.

Rozdíl oproti úloze s okny je v tom, že u oken jsme začali tím, že jsme otevřeli každé druhé. Tady jsme předtím všechny cely otevřeli, takže je to analogické úloze s okny ve verzi, kdy jsou na začátku všechna otevřená.

Ještě upozorňuji, že nejde o mocniny dvou, ale o druhé mocniny.

Není to až tak velký rozdíl. Pokud nebudeš počítat jedničku, tak budou mít všechna čísla o jednoho dělitele méně. Opět, důvod, proč já tady započítávám i tu jedničku, je ten, že na začátku se všechny cely odemkly, což odpovídá té jedničce.

Snad by všechny souvislosti měly být patrné z následujícího vyřešení příkladu pro 6 cel, zvláště souvislost s děliteli:

To, co nás ve skutečnosti zajímá, není to párování, ale počet dělitelů, jelikož sudý počet dělitelů = sudý počet změn stavu = na konci zavřeno. Stejně tak lichý počet dělitelů = na konci otevřeno.

Ta úvaha s párováním dělitelů je k tomu, abychom určili, která čísla mají sudý počet dělitelů a která lichý. No a právě sudý mají ta, která nejsou druhými mocninami (všechny dělitele můžeme rozdělit do "párů", jejichž součin je dané číslo - např. ), a naopak druhé mocniny mají lichý počet, jelikož je tam ten "prostřední" dělitel (odmocnina), který se "spáruje" sám se sebou.

No ano, 16 je druhá mocnina, tedy má lichý počet dělitelů.