Matematické Fórum

Martinaaa

Dobrý večer,
potřebovala bych poradit jakou fintu použít na upravenení těchto dvou rovnic

a1 + a3 +a5 = 105 a2 + a4 = 50 ,

pokud mám určit kvocient geometrické posloupnosti. Čísla 1, 3, 5, 2 a 4 jsou spodní indexy. Zatím jsem řešila rovnice, kde jsem měla stejny počet členů, ale s tímto si nevím rady.

Děkuji.

Doxxik · 31. 01. 2010 23:25

Zdravím

finta: vyjádři si každý člen geom. posloupnosti (který je v soustavě uveden) pomocí prvního členu (a_n = a_1 * q^(n-1) ).

-> pak ti v obou rovnicích zbydou pouze "a_1" a "q" -> vyřešíš soustavu a je to ;)

Olin · 31. 01. 2010 23:37

Takhle k večeru mě napadá jen poměrně ošklivé řešení (místo $a_1$ budu psát stručně jen a):
$a(1+q^2+q^4) = 105\nl a(q+q^3) = 50$
Rovnice podělíme:
$\frac{1+q^2+q^4}{q+q^3} = \frac{105}{50}\nl 10-21q+10q^2-21q^3+10q^4 = 0$
což je sice rovnice čtvrtého stupně, ovšem symetrická, takže ji lze substitucí $y = q + \frac 1q$ dostat na rovnici kvadratickou. Zbytek řešení už je přímočarý.

Ale říkám si, že toto je možná až moc brutální postup, třeba někoho z kolegů napadne hezčí řešení…

Martinaaa

↑ Doxxik: Toto pravidlo jsem použila a dospěla jsem k 3. řádku rovnice, kterou má Olin a kterou jsem dál neuměla řešit. Doufám, že existuje nějaké elegantnější řešení...

Olin · 01. 02. 2010 00:10

Tak ještě jsem se s tím snažil trochu hrát: Od první rovnice odečíst q-násobek druhé - dostaneme $a = 105 - 50q$ . Od q-násobku první rovnice odečteme druhou - dostaneme $aq^5 = 105q - 50$ . Ovšem nikam mě to nedovedlo, tedy dovedlo opět k té samé rovnici 4. stupně.

jelena · 01. 02. 2010 00:11

Zdravím vás,

řešili jsme před lety... a myslím, že jsem nakonec používala, že $a_1 + a_3 +a_5 = 105$ můžeme brat jako součet 3 členů s $a_1=a_1$ , $q_1=q^2$ (q je pro "původní posloupnost" ale teď se mi nechce opět dopočítávat.

Dana1 · 07. 03. 2011 13:42 — Editoval Dana1 (07. 03. 2011 13:43)

Pepano a Olin to už vyriešili...

Matematické Fórum

#1 31. 01. 2010 23:11 — Editoval Martinaaa (31. 01. 2010 23:11)

geometrická posloupnost

#2 31. 01. 2010 23:25

Re: geometrická posloupnost

#3 31. 01. 2010 23:37

Re: geometrická posloupnost

#4 31. 01. 2010 23:43 — Editoval Martinaaa (31. 01. 2010 23:49)

Re: geometrická posloupnost

#5 01. 02. 2010 00:10

Re: geometrická posloupnost

#6 01. 02. 2010 00:11

Re: geometrická posloupnost

#7 07. 03. 2011 13:42 — Editoval Dana1 (07. 03. 2011 13:43)

Re: geometrická posloupnost

Zápatí