Matematické Fórum

Když si představíš grafy těch dotčených funkcí, tak zjistíš následující (pro začátek berme 'a' kladná a zajímejme se u kladná 'x'):

1. Na každém z intervalů , , máme dva průsečíky, a tyto průsečíky se blíží k hodnotě s rostoucím . Jeden z nich je v intervalu a druhý v . Máme tedy vždy nekonečně mnoho řešení.

2. Na intervalu máme jediný průsečík pro , dva průsečíky pro . Pokud jsou dva průsečíky, pak jeden je v intervalu a druhý v , pokud je jediný průsečík, tak je v intervalu .

3. je vždy řešení.

4. Na každém výše uvedeném intervalu je nulový bod funkce možno hledat třeba půlením intervalu. S jinými numerickými metodami by to chtělo hlubší analýzu -- sice by mohly vést rychleji k cíli, ale je otázka, splňuje-li funkce g(x) jejich předpoklady (třeba Newtonova metoda).

EDIT: pokud je , tak je situace jasná. Pokud by bylo , pak se někde výše objeví absolutní hodnota, resp. se řešení přesunou z oblastí, kde je sinus kladný, do oblastí, kde je sinus záporný. Jistě by sis doplnil sám.

EDIT2: Půlení intervalu (a,b), kteréhokoli z výše uvedených intervalů, se dá symbolicky (v nějakém srozumitelném pseudokódu) udělat třeba takto pomocí 'solution' (rekurzi raději nahradit nějakým cyklem, nemáš-li pod kontrolou stack):

solution(a, b) =
{
    c = (b-a)/2

    IF b-a < epsilon THEN RETURN c
    ELSE
    {
        IF g(a) * g(c) < 0 THEN solution(a, c) ELSE solution(c, b)
    }
}

solution(a, b);

Samozřejmě se s tím dá dále pracovat - dá se zjišťovat, zdali jsme se s tím 'c' netrefili přímo do řešení, resp. podmínka b-a < epsilon se dá nahradit nějakým požadavkem na funkční hodnotu g(c), atp.

Na intervalu (0, 2pi) samozrejme. Jen pro uplnost.