Matematické Fórum

Lezzy · 01. 02. 2010 15:19 — Editoval Lezzy (01. 02. 2010 15:21)

Zdravím, mám tu celkem snadnou iracionální nerovnici.
$\sqrt[]{x+7}<x$
Postup znám, nejdříve si určím podmínku $x \geq -7$
Potom nerovnici umocním $x+7<x^2$
následně vytvořím kvadratickou nerovnici $x+7-x^2<0$
kterou převedu na rovnici $x+7-x^2=0$ a vypočítám discriminant $D=1-4(-1)(7)=29$
Ted určím 2 kořeny rovnice $x_1_,_2=\frac{-1\pm\sqrt[]{29}}{-2}$ a dostanu $x_1=\frac{-1+\sqrt[]{29}}{-2}$ a $x_2=\frac{-1-\sqrt[]{29}}{-2}$
A ted už dál nevím jak určit výsledný interval. Podle výsledků by měl vyjít $\left(\frac{1+\sqrt[]{29}}{2}; +\infty\right)$
Prosím popište mi jak mám k tomuto intervalu dojít. všude možně jsem hledal ale na nic jsem nepřišel.

A další věc co mi dělá starosti je příklad tohoto typu
Zadání zní: Upravte výraz.
$\left[ \frac{1-a^2}{\left( \frac{1-a\sqrt[]{a}}{1-\sqrt[]{a}}+ \sqrt[]{a}\right)\left( \frac{1+a\sqrt[]{a}}{1+\sqrt[]{a}}- \sqrt[]{a} \right)} +1\right]\cdot\sqrt[]{1-a^2}$
U toho nechápu postup... Výsledek je $2 pro 0 < a < 1, -2 pro a > 1$

FailED · 01. 02. 2010 15:36

Když už určuješ podmínky na začátku, na levé straně nerovnosti je vždy kladný výraz, proto ještě x>0.
Po umocnění jsi dostal kvadratickou nerovnici. Položením výrazu rovno nule zjistíš, kdy funkce $y=x+7-x^2$ protíná osu x. Víš co je grafem té funkce? Kdy to bude menší než 0?

Lezzy · 01. 02. 2010 16:59

↑ FailED:
Celkem chápu co tímy myslíš, ale jak zjistím kdy bude menší než nula? musím dosadit?

zdenek1 · 01. 02. 2010 17:16

↑ Lezzy:
Upravte výraz.
$\left[ \frac{1-a^2}{\left( \frac{1-a\sqrt[]{a}}{1-\sqrt[]{a}}+ \sqrt[]{a}\right)\left( \frac{1+a\sqrt[]{a}}{1+\sqrt[]{a}}- \sqrt[]{a} \right)} +1\right]\cdot\sqrt[]{1-a^2}$ (1)

Pokud očekáváš výsledek, který uvádíš, tak máš špatně zadání. Musel bys mít

$\left[ \frac{1-a^2}{\left( \frac{1-a\sqrt[]{a}}{1-\sqrt[]{a}}+ \sqrt[]{a}\right)\left( \frac{1+a\sqrt[]{a}}{1+\sqrt[]{a}}- \sqrt[]{a} \right)} +1\right]\cdot\sqrt[]{(1-a)^2}$ (2)

Takže budu řešit (2) Podmínky $a\geq0$

1. $\frac{1-a\sqrt[]{a}}{1-\sqrt[]{a}}+ \sqrt[]{a}=\frac{1-a\sqrt[]{a}+\sqrt a-a}{1-\sqrt[]{a}}=\frac{(1-a)(\sqrt a+1)}{1-\sqrt a}$

2. $\frac{1+a\sqrt[]{a}}{1+\sqrt[]{a}}- \sqrt[]{a}=\frac{1+a\sqrt[]{a}-\sqrt a-a}{1+\sqrt[]{a}}=\frac{(1-a)(1-\sqrt a)}{1+\sqrt a}$

3. $\frac{1-a^2}{\frac{(1-a)(\sqrt a+1)}{1-\sqrt a}\frac{(1-a)(1-\sqrt a)}{1+\sqrt a}}+1=\frac{(1-a)(1+a)}{(1-a)(1-a)}+1=\frac{2}{1-a}$

Stačí?
4. $\frac{2}{1-a}\sqrt{(1-a)^2}=\frac{2}{1-a}|1-a|$

Lezzy · 02. 02. 2010 10:24

↑ zdenek1:
Díky moc, zadání jsem opsal správně, možná se jedná o chybu autorů učebnice.

FailED · 02. 02. 2010 15:21

↑ Lezzy:

To je jedna možnost, lepší je uvědomit si že grafem je parabola, která je (podle znaménka u x^2) otočená dolů.

jelena · 08. 02. 2010 23:34

Zdravím vás,

zadání je z Janečka (str. 51, 4.2.18.3) a skutečně je v podobě, jak uvádí ↑ Lezzy:, mám u tohoto zadání nějakou poznámku (je možné, že jsem také narazili na problém s výsledkem). Dotaz považuji za vyřešený.

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2010 15:19 — Editoval Lezzy (01. 02. 2010 15:21)

Iracionální nerovnice

#2 01. 02. 2010 15:36

Re: Iracionální nerovnice

#3 01. 02. 2010 16:59

Re: Iracionální nerovnice

#4 01. 02. 2010 17:16

Re: Iracionální nerovnice

#5 02. 02. 2010 10:24

Re: Iracionální nerovnice

#6 02. 02. 2010 15:21

Re: Iracionální nerovnice

#7 08. 02. 2010 23:34

Re: Iracionální nerovnice

Zápatí