Matematické Fórum

Skrytý text:

Zkoušel jsem si, jak vypadá



pro i=0,1,2 (přičemž jsem využil toho, že znám výsledek), snadno se uhádne, že by mohlo být

.

Od toho se snadno přejde k

,

což se snadno dokáže indukcí. Už zbývá jen provést jednoduchou limitu .

Edit: Nějak plýtvám slovem "snadno", asi bych neměl být tak líný :-)

Skrytý text:

Označme (pro příslušná x)




Evidentně platí




Ovšem je také pro příslušná x




Odtud je zřejmé, že pravá a levá strana dokazované identity splňuje stejnou funkcionální rovnici. Dokážeme nyní, že platí
pro uvažovaná x.



Zřejmě je ale indukcí




Lze snadno ukázat, že funkce je omezená pro uvažovaná x; přesněji, existuje takové, že platí . Navíc z konvergence geometrické řady a omezenosti člene dostáváme odhad



neboť číslo bylo libovolné.