Matematické Fórum

gekoncik · 28. 01. 2010 22:30

Ahoj nevite jak vyresit tento priklad? Dekuji

Světlo ze sodíkové výbojky o vlnové délce λ = 589 nm dopadá pod úhlem α = 30o na optickou mřížku 10 mm širokou. Maximum třetího řádu, které se vytvoří na stínítku vzdáleném 1 m od mřížky, je vzdáleno od maxima nultého řádu 20 mm. Určete celkový počet vrypů na mřížce .

rughar · 29. 01. 2010 01:48

Ahoj. Napovím. Podívej se po Braggově rovnici.

medvidek

↑ gekoncik:
Jako správný praktik jsi mohl uvést, zda se jedná o mřížku transmisní nebo reflexní, nebo i nakreslit obrázek :-)

Z mřížkové rovnice $\sin (\theta _i) - \sin (\theta _d)=m \frac{\lambda}{\Lambda}$ vypočteš mřížkovou konstantu $\Lambda$ , tj. prostorovou periodu vrypů a převedeš na počet vrypů na 1 cm.
To je všechno.

---------------------------------------------------------------------
$m=3$ je řád difrakčního maxima,
$\lambda=589nm$ je vlnová délka,
$\sin(\theta _i)=\sin(30^{\mathrm{o}})=0,5$ je sinus úhlu dopadu,
EDIT: až do tohoto místa je můj příspěvek v pořádku.
V následujícím řádku jsou nesprávně použité číselné hodnoty (chyba vznikla z toho, že jsem bral $\theta_d$ jako úhel mezi nultým a třetím difrakčním maximem).
$\sin(\theta _d)=\frac{2cm}{100cm}=0,02$ je sinus úhlu difrakčního maxima 3. řádu.
=> $\Lambda = 3,68 \cdot 10^{-6}m$ , na délce 1 cm to bude 2716 vrypů.
Tudíž i výpočet mřížkové konstanty $\Lambda$ a počtu vrypů je nesprávný :-(
Vysvětlení mřížkové rovnice vč. obrázku a opraveného výpočtu uvedu v následujících příspěvcích.

gekoncik

Takze obrazek ma vypadat nejak takhle?

Ta mrizkova rovnice je takhle v zakladnim tvaru nebo je nejak slozena s jinych s nazim se o ni najit neco vice a nedari se..

Ivana · 29. 01. 2010 20:05

↑ gekoncik: Tady se něco o ohybových jevech a mřížce dozvíš více :

http://www.aldebaran.cz/studium/fyzika/ … p.html#mr1

http://fyzika.jreichl.com/index.php?sek … p;page=461

http://vega.fjfi.cvut.cz/docs/pvok/node120.html

Ivana · 29. 01. 2010 20:33

↑ medvidek: Dobrý den Ivane :-)
chci se zeptat , proč se lišíme ve výpočtu a ještě takový dotaz možná hloupý , co je přesně to $b$ a co je sinus úhlu difrakčního maxima ( 0,02) s tím jsem v úloze nepočítala , je to velká chyba ?

Děkuji za odpovědiˇ.

medvidek · 01. 02. 2010 07:11

Omlouvám se za svou nepozornost při použití mřížkové rovnice v příspěvku #3.
Za trest jsem vytvořil obrázek, na kterém se pokusím všechno vysvětlit :-)

Nyní napíšu mřížkovou rovnici
$\sin (\theta _i) - \sin (\theta _d)=m \frac{\lambda}{\Lambda}$
Úhly $\theta_i$ a $\theta_d$ jsou měřeny od kolmice na mřížku, $m$ je řád difrakce, $\lambda$ je vlnová délka. $\Lambda$ je vzdálenost mezi štěrbinami mřížky (někdy se tomu $\Lambda$ říká mřížková konstanta - nejspíš proto, že reálné mřížky nemusí mít jen štěrbiny a vrypy, ale mohou mít téměř libovolnou periodickou strukturu).
Z mřížkové rovnice můžeme vyjádřit $\frac{1}{\Lambda}$ , což je počet štěrbin na jeden metr mřížky:
$\frac{1}{\Lambda} = \frac{\sin (\theta _i) - \sin (\theta _d)}{m \lambda}$
Difrakcí dojde k ohybu paprsku o úhel $\Delta \theta$ , a ne o úhel $\theta_d$ , jak by jsi někdo (např. já :-) mohl myslet.
Z obrázku je vidět, že $\theta_d=\theta_i-\Delta \theta$ , přičemž $\sin(\Delta \theta)=\frac{20}{1000}$
Po dosazení za $\theta_d$
$\frac{1}{\Lambda} = \frac{\sin (\theta _i) - \sin (\theta_i-\Delta \theta)}{m \lambda}$
Naše mřížka nemá šířku 1 metr, ale jen 1 cm, takže počet štěrbin $N$ bude 100x menší:
$N= \frac{1}{100} \cdot \frac{\sin (\theta _i) - \sin (\theta_i-\Delta \theta)}{m \lambda}$
Kdo chce, může sem dosadit a mělo by mu vyjít N=98,588.
Po dalších úpravách lze dostat následující aproximativní vztah
$N \approx \frac{1}{100} \cdot \frac{\cos(\theta _i) \sin(\Delta \theta)}{m \lambda}= \frac{1}{100} \cdot \frac{\cos(30^{\mathrm{o}}) \frac{20}{1000}}{3 \cdot 589 \cdot 10^{-9}}=98,02$

medvidek

↑ Ivana:
Zdravím Ivano :-)
To $b$ není nic jiného než $\Lambda$ , neboli vzdálenost štěrbin/vrypů v mřížce.
V Reichlově encyklopedii http://fyzika.jreichl.com/index.php?sek … p;page=461 je uveden vztah pro disperzi na mřížce
$b \sin(\alpha)=k \lambda$
Tento vztah dostaneme, zvolíme-li v mřížkové rovnici $\Lambda=b$ , $\theta_i=0$ (tj. paprsek dopadající kolmo na mřížku), $\theta_d=\alpha$ , $m=-k$ .
Mřížková rovnice je jen určitým zobecněním tohoto vztahu.
Odvození mřížkové rovnice je principiálně stejně jednoduché. Máte-li někdo zájem, mohu ho sem také uvést.

Ivana · 01. 02. 2010 19:13 — Editoval Ivana (01. 02. 2010 20:07)

↑ medvidek:Zdravím Ivane :-) , děkuji za odpovědˇ , ještě si řešení potřebuji promyslet . Hezký večer :-) .

PS : Budeš-li mít čas , poprosím o odvození mřížkové rovnice . Ostatnímu výkladu rozumím .

Děkuji :-)

Ivana · 01. 02. 2010 20:30

↑ medvidek:

A ještě nevím jak upravit

$N= \frac{1}{100} \cdot \frac{\sin (\theta _i) - \sin (\theta_i-\Delta \theta)}{m \lambda}$

na tento výraz

$N \approx \frac{1}{100} \cdot \frac{\cos(\theta _i) \sin(\Delta \theta)}{m \lambda}=$

medvidek · 02. 02. 2010 02:35

↑ Ivana:
Začnu třeba tím, že ukážu úpravu výrazu
$N= \frac{1}{100} \cdot \frac{\sin (\theta _i) - \sin (\theta_i-\Delta \theta)}{m \lambda}$ .

Jmenovatel zůstává stejný, budu tedy zapisovat jen úpravy čitatele:
$\sin (\theta _i) \ - \ \sin (\theta_i-\Delta \theta)$
$\sin (\theta _i) \ - \ \sin (\theta_i) \cos(\Delta \theta) \ + \ \cos(\theta_i)\sin(\Delta \theta)$
$\sin (\theta _i)(1 - \cos(\Delta \theta)) \ + \ \cos(\theta_i)\sin(\Delta \theta)$
$\sin (\theta _i)(1 - \sqrt{1-sin^2(\Delta \theta)}) \ + \ \cos(\theta_i)\sin(\Delta \theta)$
Vzhledem k tomu, že úhel $\Delta \theta$ je poměrně malý - v konkrétním případě $\sin(\Delta \theta)=0,02$ ,
bude člen $\sin (\theta _i)(1 - \sqrt{1-sin^2(\Delta \theta)})$ nevýznamný ve srovnání s $\cos(\theta_i)\sin(\Delta \theta)$ .

Proto můžeme psát
$N \approx \frac{1}{100} \cdot \frac{\cos(\theta _i) \sin(\Delta \theta)}{m \lambda}$

medvidek

↑ Ivana:
Hezký ... (hezkou noc?) , Ivano :-)

Pro odvození mřížkové rovnice použiju obrázek

$\theta_i$ a $\theta_d$ jsou opět úhly mezi paprskem a kolmicí na mřížku. V obrázku kolmice není zakreslena, ale snad si to každý dokáže představit.
$\Lambda$ je vzdálenost otvorů v mřížce, zároveň je to společná přepona dvou pravoúhlých trojůhelníků.

Z obrázku je patrné, že dráhový rozdíl, který vzniká mezi paprsky procházejícími mřížkou, bude
$\Lambda \sin(\theta_i) - \Lambda \sin(\theta_d)$ .
Aby mohlo vzniknout difrakční maximum, musí paprsky vystupující z mřížky interferovat konstruktivně - to je tzv. podmínka fázového synchronizmu (někdy, zejména u objemových mřížek se tomu říká Braggova podmínka). Tato podmínka je splněna, když je dráhový rozdíl celočíselným násobkem vlnové délky:
$\Lambda \sin(\theta_i) - \Lambda \sin(\theta_d)=m \lambda$
To už je jen jiný tvar mřížkové rovnice
$\sin(\theta_i) - \sin(\theta_d)=m \frac{\lambda}{\Lambda}$

Ivana · 02. 02. 2010 20:24 — Editoval Ivana (02. 02. 2010 21:38)

↑ medvidek: Zdravím Ivane a moc děkuji :-) . Pořádně si to nastuduji :-)

...o něco později :

Tak tvůj postup jsem prošla , pochopila a posílám své doplněné řešení s celým výpočtem pro N .. počet štěrbin :

Ještě jednou děkuji za vysvětlení odvození mřížkové rovnice :-)

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2010 22:30

Interference a difrakce

#2 29. 01. 2010 01:48

Re: Interference a difrakce

#3 29. 01. 2010 03:02 — Editoval medvidek (01. 02. 2010 04:21)

Re: Interference a difrakce

#4 29. 01. 2010 11:21 — Editoval gekoncik (29. 01. 2010 11:25)

Re: Interference a difrakce

#5 29. 01. 2010 20:05

Re: Interference a difrakce

#6 29. 01. 2010 20:33

Re: Interference a difrakce

#7 01. 02. 2010 07:11

Re: Interference a difrakce

#8 01. 02. 2010 09:03 — Editoval medvidek (01. 02. 2010 09:05)

Re: Interference a difrakce

#9 01. 02. 2010 19:13 — Editoval Ivana (01. 02. 2010 20:07)

Re: Interference a difrakce

#10 01. 02. 2010 20:30

Re: Interference a difrakce

#11 02. 02. 2010 02:35

Re: Interference a difrakce

#12 02. 02. 2010 05:03 — Editoval medvidek (02. 02. 2010 05:04)

Re: Interference a difrakce

#13 02. 02. 2010 20:24 — Editoval Ivana (02. 02. 2010 21:38)

Re: Interference a difrakce

Zápatí